Динамика

На даче у школьника на горизонтальном полу террасы стояла пластмассовая кубическая емкость для воды, иногда протекающей с крыши. Когда емкость заполнилась наполовину, дедушка попросил внука вылить воду из нее, наклонив вокруг одного из нижних ребер куба, чтобы вода переливалась через соседнее верхнее ребро. Какую работу А совершил внук к моменту начала вытекания воды из емкости, если процесс подъема был очень медленным, так что поверхность воды все время оставалась горизонтальной? Объем воды вначале был равен $V = 108л$ квадратные стенки емкости и ее днище тонкие, однородные, массой $m = 4кг$ каждая (сверху емкость открыта). Сделайте рисунки с указанием положения центров масс воды, днища и стенок емкости до начала наклона емкости и в момент, когда вода начинает выливаться. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

[рис.] По гладкой наклонной плоскости пускают шайбу. Максимальное удаление шайбы от линии пересечения наклонной плоскости и горизонтали 68 см. Угол плоскости с горизонталью α = 30°. Угол между начальной скоростью и линией AB β = 60°. Найдите начальную скорость шайбы. Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

[рис.] На гладкой плоскости, наклоненной под углом $альфа$ = 30° к горизонту, лежит маленький грузик, привязанный невесомой нерастяжимой нитью длиной l = 40 см к вбитому в плоскость гвоздику (см. рис.). Найдите период малых (угол $\varphi$ << 1) колебаний грузика после его отклонения от положения равновесия вдоль плоскости в направлении, перпендикулярном нити. Какие законы Вы используете для описания малых колебаний шарика? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Грузик массой m = 100 г неподвижно висит на легкой абсолютно упругой гибкой резинке с коэффициентом упругости k = 100 Н/м в поле силы тяжести с ускорением свободного падения g. Грузик поднимают из этого положения вертикально вверх на высоту h = 80 см, меньшую длины резинки, и отпускают без начальной скорости. Найдите время движения грузика вниз до точки его остановки. Начальной деформацией резинки при покоящемся грузике можно пренебречь. Какие законы Вы используете для описания движения груза на резинке? Обоснуйте их применение к данному случаю.

[рис.] В системе, изображенной на рисунке, грузик массой m = 1 кг подвешен на нити, охватывающей три блока, второй конец которой привязан к оси самого правого блока (см. рис.). К этой же оси привязана другая нить, соединяющаяся с грузом массой M = 11 кг, лежащим на шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения груза о плоскость равен μ = 0,25). Найдите ускорение a1 грузика m. Считайте, что нити невесомы и нерастяжимы, свободные участки нитей вертикальны или горизонтальны, блоки невесомы, а трение в их осях отсутствует. Какие законы Вы используете для описания движения грузика и бруска? Обоснуйте их применение.

Груз массой $m=1 кг$ подвесили на невесомой пружине, и он мог совершать вертикальные гармонические колебания с некоторой частотой. Затем параллельно первой пружине присоединили вторую такую же и подвесили к ним другой груз. Частота колебаний новой системы оказалась вдвое меньше, чем прежней. Чему равна масса М второго груза? Какие законы Вы используете для описания колебательного движения маятника? Обоснуйте их применение.

Небольшие одинаковые почти абсолютно упругие шарики покоятся на прямом горизонтальном гладком жёлобе на одинаковых расстояниях друг от друга. В некоторый момент первому слева шарику толчком сообщают начальную скорость υ1 в направлении остальных шариков, после чего происходят их последовательные столкновения. После n = 9 соударений оказалось, что десятый шарик приобрёл скорость υ10 = 0,8υ1. Сколько процентов от кинетической энергии движущегося шарика передавалось следующему покоящемуся шарику при каждом столкновении?

[рис.] Небольшое тело покоится на горизонтальной шероховатой плоскости с коэффициентом трения о неё $\mu = 0,3$ На расстоянии $L = 1,5м$ от тела закреплена гладкая вертикальная трубка высотой $Н = 0,4м$ имеющая внизу плавный изгиб с отверстием в направлении тела, позволяющим ему попасть в трубку без удара. Телу сообщают такую начальную скорость в направлении трубки, чтобы тело достигло её верхнего отверстия, а затем вернулось по трубке обратно на плоскость. На каком расстоянии s от начальной точки движения в описываемом опыте тело остановится?

[рис.] На рисунке изображена система, состоящая из двух невесомых блоков (неподвижного и подвижного) и невесомой нерастяжимой нити. К концу нити прикреплён груз массой m1 = m, а к оси подвижного блока жёстко прикреплён груз массой m2 = 3m. Трение в осях блоков и о воздух отсутствует, свободные участки нитей вертикальны. В начальный момент все грузы покоятся и находятся на одной высоте, а затем их отпускают. В каком направлении и на какое расстояние x2 по вертикали сместится груз m2 спустя время t = 0,5 с после начала движения?

Во время автогонок на скоростной трассе один гонщик ехал по горизонтальному прямолинейному участку AB с постоянной скоростью $v _1 = 126км/ч$ Второй гонщик, ехавший с постоянной скоростью на более мощном «болиде», обогнав первого в точке A, сразу же начал тормозить и остановился в середине участка AB на время $\Delta t = 20c$ Потом второй гонщик ускорился и в точке B вновь обогнал первого гонщика. При этом в момент обгона он как раз достиг максимальной скорости, равной своей начальной. Считая, что и при торможении, и при последующем разгоне второй гонщик движется с одинаковым максимально возможным ускорением $a = 0,3g$ найдите его скорость $V_2$ при первом и втором обгоне соперника.

Внутри неподвижной гладкой сферической поверхности радиусом $R = 20см$ в поле силы тяжести скользит в горизонтальной плоскости по круговой траектории радиусом $r_1 = 10см$ маленькое тело. Другое такое же тело скользит при тех же условиях по аналогичной траектории радиусом $r_2 = 15см$ Найдите отношение $дробь: числитель: v _2, знаменатель: v _1 конец дроби$ модулей скоростей движения данных тел по указанным траекториям.

[рис.] В механической системе, изображенной на рисунке, двухступенчатый блок с радиусами $r = 10см$ и $R = 20см$ может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси. К блоку прикреплена легкая штанга длиной $l = 30см$ на конце которой расположен маленький груз массой m, а на ступени блока намотана невесомая нерастяжимая нить, концы которой закреплены на блоке. На нити под этим блоком висит очень легкий подвижный блок радиусом $15см$ который может вращаться без трения вокруг своей оси, к которой подвешен груз массой $M = 1кг$ Вначале штангу удерживали в вертикальном положении, а затем отпустили, и после затухания колебаний в системе штанга в положении равновесия оказалась отклоненной от вертикали на угол $альфа = 30 градусов$ Чему равна масса груза m?

[рис.] В механической системе, изображенной на рисунке, все блоки, пружины и нити невесомые, нити нерастяжимые, трения в осях блоков нет, все участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Известно, что после подвешивания груза массой $M = 40кг$ к оси самого правого блока левая пружина в состоянии равновесия растянулась на величину $\Delta x_1 = 10см$ Найдите коэффициент жесткости $k_1$ левой пружины.

22 октября 2022 г. с космодрома «Восточный» ракетой из семейства «Союз» были запущены три спутника связи «Гонец-⁠М» и первый спутник «Скиф-⁠Д» из проекта «Сфера» по обеспечению доступа к широкополосному интернету на всей территории России. Этот спутник вышел на круговую орбиту высотой h = 8170 км над поверхностью Земли с полярным наклоном 90° (плоскость такой орбиты проходит через оба географических полюса Земли), и через некоторое время пролетел с юга на север над центром Москвы. Через сколько оборотов вокруг Земли он снова окажется над Москвой, двигаясь в том же направлении с юга на север? Радиус Земли Rз = 6370 км.

Школьник сел в электробус, чтобы доехать до школы. На улице накрапывал дождик, но на вертикальные лобовые стекла кабины водителя капли во время остановки не попадали. Когда электробус тронулся и начал ускоряться, на лобовые стекла кабины капли дождя стали попадать, и тем чаще, чем выше становилась скорость электробуса, что заставляло водителя периодически включать «дворники». Сколько капель дождя попало на эти стекла за время t = 25 с равноускоренного разгона электробуса от остановки до скорости $v =45км/ч$ если площадь стекол равна S = 1,5 м2, а концентрация капель в воздухе составляла $n = 300м в степени левая круглая скобка –3 правая круглая скобка ?$ Можно считать, что до столкновения со стеклом кабины скорость капель остается такой же, как и вдалеке от электробуса.

Школьник, изучая механические колебания, изготовил два маятника — математический с периодом малых колебаний T1 = 1 c и пружинный с периодом колебаний T2 = 2T1. Второй маятник был подвешен в вертикальном положении за свободный конец пружины. Найдите деформацию x0 пружины для второго маятника в состоянии равновесия.

На горизонтальном столе находится система, состоящая из трех грузиков массой m каждый и трех одинаковых пружинок жесткостью k, соединенных с этими грузиками (см. рис.) Коэффициент трения о стол у двух грузиков — левого и правого — равен $\mu$ а средний грузик может скользить по столу без трения $левая круглая скобка \mu=0 правая круглая скобка$ К левому свободному концу самой левой пружинки (точка О) начинают прикладывать горизонтальную силу F, которая очень медленно увеличивается по модулю от нуля до того значения, при котором самый правый грузик начинает скользить по столу. На какое расстояние xО сместится точка О к этому моменту? Известно, что m = 100 г, $\mu=0,4$ k = 10 Н/⁠м. Какие законы Вы использовали для описания движения системы грузов? Обоснуйте их применимость к данному случаю. [рис.]

В велотренажерах для регулировки физической нагрузки тренирующихся на них спортсменов в настоящее время часто используются электродинамические тормозящие устройства, позволяющие плавно регулировать усилия, необходимые для вращения педалей с определенной скоростью. Вращение от педалей передается на массивный токопроводящий диск, находящийся между двумя сильными неподвижными магнитами, расстояние от которых до диска можно регулировать. Взаимодействие возникающих в диске индукционных токов с магнитами тормозит вращение диска, а, следовательно, и педалей, заставляя прикладывать к ним регулируемые по величине силы. Пусть спортсмен крутит педали, находящиеся на расстоянии R = 20 см от их оси вращения, с частотой ν = 15 оборотов в минуту, прикладывая к каждой из педалей в направлении ее движения постоянную по модулю вращающую силу F = 50 Н. На сколько градусов нагреется алюминиевый диск массой m = 5 кг за время t = 30 минут работы в таком режиме? Считайте, что вся работа спортсмена расходуется только на равномерный разогрев диска.

На гоночных автотрассах используют так называемые «выведенные» повороты, на которых дорожное полотно наклонено под некоторым углом $альфа$ к горизонту внутрь поворота. Известно, что при определенном угле $альфа$ автомобиль может двигаться с постоянной скоростью V = 120 км/⁠ч по повороту с радиусом R = 300 м таким образом, что полная сила реакции полотна дороги все время перпендикулярна полотну, то есть у этой силы нет составляющих, параллельных полотну. При какой скорости Vм автомобиль начнет скользить поперек трассы и может быть «выкинут» с нее наружу поворота, если коэффициент трения колес о трассу равен $\mu=0,8?$ Считайте, что в момент начала скольжения у силы трения нет составляющей в направлении движения. Какие законы Вы использовали для описания движения автомобиля? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

На невесомой нерастяжимой нити длиной l = 50 см, привязанной наверху к неподвижному крючку, подвешен маленький шарик массой m = 10 г. Снизу к шарику прикреплена легкая пружина жесткостью k = 100 Н/⁠м, растянутая на $\Delta l=10см$ до длины, равной длине нити l, причем нижний конец пружины находится точно под крючком и заделан в неподвижном основании. Шарик оттягивают в горизонтальном направлении на малое расстояние x l и отпускают. Найдите частоту ν возникающих после этого колебаний, пренебрегая потерями на трение.

[рис.] На гладкой горизонтальной плоскости лежит закрепленный обруч радиусом R = 50 см, в центре которого покоится грузик массой m = 1 кг, к которому прикреплены четыре невесомые пружины (№ 1–4), другие концы которых прикреплены к обручу через равные угловые промежутки по 90° (см. рис.). Две пружины напротив друг друга натянуты с одинаковыми силами T = 1 Н, а две остальные не натянуты и имеют одинаковые коэффициенты упругости k = 1 Н/⁠м. Грузик смещают вдоль оси Х, направленной перпендикулярно натянутым пружинам, на малое расстояние x0 = 1 см от положения равновесия, и отпускают без начальной скорости в момент времени t = 0. Запишите закон движения грузика вдоль оси Х. Какие законы Вы использовали для описания движения грузика? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

В начале астрономического исследования Солнечной системы в 1766 г. немецким физиком И. Тициусом было сформулировано правило, приблизительно описывающее расстояния планет от Солнца. В 1781 г. после открытия Урана, большая полуось орбиты которого точно соответствовала этому правилу, И. Э. Боде предположил о возможности существования пятой от Солнца планеты между орбитами Марса и Юпитера на расстоянии 2,8 а. е. от нашего светила, которая и до сих пор не была обнаружена. Вместо нее образовался пояс астероидов, которые не смогли «слипнуться» в планету из-⁠за влияния тяготения массивного Юпитера. Каков был бы период обращения этой несостоявшейся планеты вокруг Солнца в земных годах? 1 а. е. = 150 млн км — среднее расстояние от Земли до Солнца. Орбиты планет можно считать окружностями, лежащими в одной плоскости, с центром в Солнце.

[рис.] В системе, изображенной на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, массы грузов равны m1 = 1 кг, m2 = 3 кг, m3 = 0,5 кг. Точки подвеса груза m2 — однородной горизонтальной балки — находятся на равных расстояниях от ее концов. Найдите модуль и направление ускорения груза массой m3. Какие законы Вы используете для описания движения системы грузов и блоков? Обоснуйте их применение к данному случаю.

[рис.] В системе, изображенной на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нить невесома и нерастяжима, m1 = 2 кг, m2 = 4 кг, m3 = 1 кг. Найдите модуль и направление ускорения $\veca_3$ груза массой m3. Какие законы Вы используете для описания движения брусков? Обоснуйте их применение к данному случаю.

[рис.] Найдите модуль ускорения A груза массой М в системе, изображенной на рисунке. Трения нет, блоки невесомы, нити легкие и нерастяжимые, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, масса второго груза m, ускорение свободного падения равно g. Какие законы Вы использовали для описания движения тел и блоков? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

[рис.] В системе, изображенной на рисунке, масса груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости, равна m = 2 кг. При подвешивании к оси подвижного блока груза массой M = 2,5 кг он движется вниз с ускорением a = 2 м/⁠с2. Чему равен коэффициент трения μ между грузом массой m и плоскостью? Нити невесомы и нерастяжимы, блоки невесомы, трение в осях блоков и о воздух отсутствует. Какие законы Вы используете для описания движения грузика и бруска? Обоснуйте их применение.

На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами $m_1= 1 кг$ и $m_2 = 2 кг$ соединенные невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена некоторая направленная вертикально вниз сила, в результате чего ось О движется с ускорением $a_0= 3м / с в квадрате$ Найдите модуль F этой силы. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок. [рис.] Какие законы Вы используете для описания движения брусков? Обоснуйте их применение.

На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами $m_1= 0,5кг$ и $m_2 = 2кг$ соединенные невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена направленная вертикально вниз сила F = 4 Н. Найдите ускорение этой оси. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок. [рис.] Какие законы Вы используете для описания движения брусков? Обоснуйте их применение.

[рис.] Два шарика массами $M_1$ и $M_2$ подвешены на нитях длиной $L_1=90см$ и $L_2=20см$ соответственно. Их массы относятся $M_1=1,5M_2$ К ним прикреплена пружина перевязанная нитью, после обрезки нити шарик $M_2$ отклонился на угол $90 градусов$ На какой угол отклонился первый шарик? (рисунок немного другой)

[рис.] Между шариками массами $m_1$ и $m_2$ соответственно зажата пружины, которая стянута нитью. Нить пережигают и пружина разжимается, в результате шарики отклоняются на одинаковый угол $альфа$ Найдите отношение длин нитей $дробь: числитель: L_1, знаменатель: L_2 конец дроби$ Сжатие пружины намного меньше длины нитей.