Задачи на оптимальный выбор

IT-компания закупает кластер серверов за 212 миллионов рублей для обучения нейросети, генерирующей идеальные отговорки для невыполненных домашек. Затраты на обработку x петабайт данных равны $0,5x в квадрате плюс 2x плюс 10$ млн руб. в год. Прибыль с продажи обработанных данных по цене p млн руб. за петабайт составит $px минус левая круглая скобка 0,5x в квадрате плюс 2x плюс 10 правая круглая скобка$ Важное ограничение: из-за слабой системы охлаждения (сисадмин поставил комнатный вентилятор), серверы физически не могут обрабатывать более 8 петабайт данных в год $левая круглая скобка x меньше или равно 8 правая круглая скобка$ Компания настраивает нагрузку так, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p серверы окупятся не более чем за 2 года?

Уважаемый предприниматель Арсен открыл на трассе М-⁠4 два премиальных заведения: элитную шашлычную «Золотой шампур» и VIP-автомойку «Чистый Лев». На летние каникулы из родного аула к Арсену приехали 60 племянников, которых нужно пристроить к делу. Каждый день Арсен должен распределить всех 60 племянников между двумя бизнесами. — Если на шашлычную отправлено x племянников, то из-за того, что они начинают спорить, чей маринад лучше, и постоянно отвлекаются на произнесение тостов за здоровье клиентов, ежедневная выручка (в тысячах рублей) вычисляется по формуле: $R_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка = 15x минус 0,1x в квадрате$ — Если на автомойке работает y племянников, то из-за того, что они устраивают соревнования по лезгинке с активной пеной и бесплатно моют заниженные Приоры всех знакомых, выручка (в тысячах рублей) составляет: $R_2 левая круглая скобка y правая круглая скобка = 21y минус 0,2y в квадрате$ Как Арсен должен распределить племянников между шашлычной и автомойкой, чтобы суммарная ежедневная выручка была наибольшей и он быстрее накопил на новый «Гелендваген»? Какова будет эта максимальная выручка (в тысячах рублей)?

Аристарх 15 марта решил откладывать одинаковую сумму каждый месяц на покупку пакета акций. 1 марта пакет акций стоил 87 500 рублей. 1 числа каждого месяца пакет акций дорожает на 20%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Аристарху каждый месяц, чтобы через некоторое время купить пакет акций?

Бригада из 11 человек за день может выполнить заказы на общую сумму 50 000 рублей, а бригада из 17 человек — на сумму 100 000 рублей. Всего в фирме работают 798 человек. На какую максимальную сумму в день они могут выполнить заказы, если на день могут формировать бригады только из 11 и 17 человек?

В начале года за участие в инвестировании крупного проекта фирме был выделен пакет ценных бумаг. К концу каждого k-го года владения ценными бумагами их стоимость увеличивается и становится равной 10k условных денежных единиц. В конце k-го года после очередного увеличения стоимости ценных бумаг фирма имеет возможность продать весь пакет, а вырученную сумму вложить в банк, и тогда в конце следующего года вложенная сумма увеличится на 9%. В конце какого года фирме следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на счёте была наибольшей?

Бизнесмен продает ложки по цене 1000 руб. за штуку. Для увеличения продаж он запланировал рекламную кампанию, на которую выделил 100 тыс. руб. (эти деньги необходимо потратить полностью). Рекламное объявление в социальной сети стоимостью 20 тыс. руб. увеличивает продажи ложек на 10 штук, а рекламное объявление в мессенджере стоимостью 40 тыс. руб. увеличивает продажи на 30%. Какое наименьшее количество ложек надо продать, чтобы окупить рекламную кампанию?

Паром грузоподъемностью 111 тонн перевозит микроавтобусы и грузовики при условии полной загрузки. Количество загруженных на паром микроавтобусов составляет не более 70% от количества загруженных на паром грузовиков. Вес и стоимость одного микроавтобуса составляют 5 тонн и 5 тысяч условных единиц, грузовика — 9 тонн и 4 тысячи условных единиц соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость всех микроавтобусов и грузовиков, перевозимых паромом при данных условиях.

На каждом из двух комбинатов работают по 200 человек и изготавливают детали А и В. На первом комбинате один человек изготавливает за смену 1 деталь А или 3 детали В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t2 человеко-⁠смен. Оба комбината поставляют детали на завод, где собирают изделие, для которого нужна или одна деталь А, или одна деталь В. При этом комбинаты договорились между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее число изделий. Сколько изделий за смену при таких условиях может собрать завод?

Кооператив «Красный труженик», состоящий из нескольких цехов, производящих однотипную продукцию, в 1925 году увеличил к концу года ежедневный объем выпуска продукции на p1 процентов по сравнению с началом года. Однако с первого дня 1926 года несколько цехов, достигших суммарно к концу предыдущего года ежедневного объема выпуска продукции, равного половине ежедневного объема выпускаемой продукции всего кооператива в начале 1925 года, были закрыты на реконструкцию до начала следующего года. Остальные цеха увеличили к концу 1926 года ежедневный объем выпуска своей продукции на p2 процентов по сравнению с началом этого года. Известно, что $p_1 плюс p_2 = 60$ При каком значении p1 общий ежедневный объем выпуска продукции кооператива к концу 1926 года будет иметь максимальное значение?

Индивидуальный предприниматель в течение нескольких дней ежедневно покупал в магазине одежды 200 изделий на сумму 158 тыс. рублей: джинсы по 1000 руб. за штуку, рубашки — по 800 руб. за штуку, сумки — по 400 руб. за штуку. Найдите максимальное число сумок, которое могло быть куплено предпринимателем в один из таких дней.

Строительство нового завода стоит 376 млн руб. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны $0,5 x в квадрате плюс x плюс 12$ млн руб. в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. руб. за единицу, то прибыль фирмы (в млн руб.) за один год составит $p x минус левая круглая скобка 0,5 x в квадрате плюс x плюс 12 правая круглая скобка$ Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы годовая прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции p = 14 тыс. руб. за единицу. Каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей. Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Имеются три сплава, в состав которых входят металлы А, В и С. Первый сплав содержит 20% металла А, 30% металла В, 50% металла С. Второй сплав содержит 50% металла А, 20% металла В, 30% металла С. Третий сплав содержит 30% металла А, 40% металла В, 30% металла С. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 10 кг нового сплава, который содержал бы 25% металла А, а процентное содержание металла В было бы минимально возможным?

Фабрика получила заказ на изготовление 1005 деталей типа 1 и 2010 деталей типа 2. Каждый из 192 рабочих фабрики затрачивает на изготовление двух деталей типа 1 время, за которое он мог бы изготовить одну деталь типа 2. Каким образом следует разделить рабочих фабрики на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа?

Зависимость количества Q (в шт., $0 меньше или равно Q меньше или равно 30 000 правая круглая скобка$ купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой $Q = 30 000 минус P$ Затраты на производство Q единиц товара составляют $5000 Q плюс 3 000 000$ руб. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей $левая круглая скобка 0 меньше t меньше 15 000 правая круглая скобка$ с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $P Q минус 5000 Q минус 3 000 000 минус t Q$ руб., а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ руб. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

У фермера есть два комбайна. Оба комбайна используются для уборки зерновых, но второй комбайн более современный. В результате, если первый комбайн работает m2 часов, то за это время он собирает 8m т зерновых; если второй комбайн работает m2 часов, то за это время он собирает 15m т зерновых. За каждый час работы фермер платит каждому комбайнеру 200 рублей. Фермер готов выделять 20 000 рублей на оплату труда комбайнеров. Какое наибольшее количество тонн зерновых можно собрать на эти деньги с помощью двух комбайнов?

У инвестора есть 50 млн руб. Часть денег он планирует вложить в проект. Если он вложит в проект $дробь: числитель: 5 x в квадрате , знаменатель: 144 конец дроби$ млн руб., то по завершении проекта он получит x млн руб. Невложенные в проект деньги инвестор планирует разместить на банковском счете. По завершении проекта инвестор получит из банка сумму, увеличенную на 20%. Инвестор собирается распределить деньги так, чтобы общая сумма полученных им денег от вложения в проект и размещения в банке оказалась наибольшей. Прибыль от проекта — это разность между полученной от проекта и вложенной в проект суммами денег. Найдите сколько процентов составит прибыль от проекта от вложенной в него суммы денег.

Планируется построить новый завод, который ежегодно будет выпускать x тыс. ед. продукции, причем затраты на производство этого количества продукции составят $0,25 x в квадрате плюс 5 x$ миллионов рублей в год. Кроме того планируется, что транспортные расходы на доставку продукции до места реализации составят x + 24 миллионов рублей в год. После продажи продукции (x тыс. ед.) по цене p тыс. руб. (где p — целое число) за единицу ежегодная прибыль завода (в миллионах рублей) составит разность между полученной суммой денег и суммарных затрат по производству продукции и транспортных расходов. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более, чем за 6 лет, если расходы по его строительству оцениваются в размере 150 миллионов рублей?

Сергей владеет двумя цехами, расположенными в разных районах города. В цехах производятся абсолютно одинаковая продукция, но в первом цехе используется более современное оборудование. В результате если рабочие второго цеха трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за это время они производят 2t единиц продукции. Если же рабочие первого цеха трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за это время они производят 4t единиц продукции. В обоих цехах за каждый час работы рабочему платят 450 рублей. Сергей готов платить рабочим 1 640 250 рублей в неделю. На какое максимальное число единиц продукции он может рассчитывать?

Клиент открыл в банке депозитный вклад сроком на 1 год под p1 процентов годовых. По окончании срока действия вклада и начисления процентов он добавил к выданной сумме денег дополнительно сумму, составляющую 3% от внесенной год назад при открытии вклада, и переоформил вклад еще на год под p2 процентов годовых. Известно, что $p_1 плюс p_2 = 25$ При каком значении p2 через год при закрытии вклада и начислении процентов клиент получит максимальную сумму денег?

У владельца фабрики есть два станка. Оба станка используются для изготовления одинаковых деталей, но второй станок более современный. За m2 часов первый станок изготавливает 6m деталей, а второй станок — 8m деталей. За каждый час работы (на каждом из станков) рабочим платят 250 руб. в час. На оплату труда рабочих выделено 25 000 руб. Какое наибольшее количество деталей можно изготовить на эти деньги с помощью двух станков?

Фирма планирует взять в январе кредит на целое число миллионов рублей на 4 года на следующих условиях: — в июле каждого года долг фирмы возрастает на 10% по сравнению с началом года; — в конце 1-⁠го и 3-⁠го годов фирма выплачивает только проценты по кредиту, начисленные за соответствующий текущий год; — в конце 2-⁠го и 4-⁠го годов фирма выплачивает одинаковые суммы, погашая к концу 4-⁠го года весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат превысит 100 миллионов рублей.

Харитон хочет взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк предлагает кредит на 10 лет под 7% годовых, второй — на 6 лет под 9% годовых. В обоих банках применяется дифференцированная система платежей по кредиту, то есть долг перед банком уменьшается каждый год на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим годом. Определите, в каком банке переплата по кредиту будет меньше и на сколько процентов.

При налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства товара составляет 12 000 − 2t единиц, если это число положительно, и 0 единиц иначе. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений, увеличило налог на 60% (до величины 1,6t0), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов?

Наталья Дмитриевна владеет облигациями, которые стоят n2 тысяч рублей в конце года n $левая круглая скобка n=1, 2, \ldots правая круглая скобка$ В конце любого года Наталья Дмитриевна может их продать и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1 + m раз. Наталья Дмитриевна хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать восьмого года сумма на ее счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать третьего года. При каких положительных значениях m это возможно?

На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 500 человек, и один рабочий изготавливает за смену 8 деталей А или 2 детали В. На втором комбинате работает 200 человек, и один рабочий изготавливает за смену 2 детали А или 8 деталей В. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, на котором собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь A и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Предприятие производит детские санки и является убыточным. Известно, что при изготовлении x санок в месяц расходы предприятия на выпуск одних санок составляют $левая круглая скобка дробь: числитель: 168 000, знаменатель: x конец дроби плюс 36 минус \left|12 минус дробь: числитель: 72 000, знаменатель: x конец дроби | правая круглая скобка тыс. руб$ а цена реализации каждой единицы продукции равна $72 минус дробь: числитель: 3 x, знаменатель: 1000 конец дроби$ тыс. руб. Определите ежемесячный объем производства (в тысячах санок), при котором ежемесячные убытки могут быть снижены до наименьшего возможного уровня.

Предприниматель взял в кредит под 20% годовых сумму S на целое число лет. Кредит должен быть погашен равными ежегодными платежами. Через некоторое целое число лет после исполнения очередного платежа предприниматель обнаружил, что выплатил банку сумму, большую S, при этом сумма оставшихся платежей также была больше S. Найдите минимальный срок, на который предприниматель мог взять кредит.

У инвестора есть 50 миллионов рублей. Часть денег он планирует вложить в проект. Если он вложит в проект $дробь: числитель: 5 x в квадрате , знаменатель: 144 конец дроби$ млн руб., то по завершении проекта он получит x млн руб. Невложенные в проект деньги инвестор планирует разместить на банковском счете. По завершении проекта инвестор получит из банка сумму, увеличенную на 20%. Инвестор собирается распределить деньги так, чтобы общая сумма полученных им денег от вложения в проект и размещения в банке оказалась наибольшей. Прибыль от проекта — это разность между полученной от проекта и вложенной в проект суммами денег. Найдите, сколько процентов составит прибыль от проекта от вложенной в него суммы денег.

Строительство нового цеха по производству роботов-⁠пылесосов стоит 300 миллионов рублей. Затраты на производство x тысяч единиц продукции на такой линии равны $0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100$ млн руб. в год. Если продукцию продавать по цене p тыс. руб. за единицу, то прибыль фирмы (в млн руб.) за один год составит $p x минус левая круглая скобка 0,1 x в квадрате плюс 3 x плюс 100 правая круглая скобка$ млн руб. Когда цех будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки цеха цена продукции p = 12 тыс. руб. за единицу, каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство цеха?