Вписанные окружности и треугольники

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. Отрезок EH — перпендикуляр из точки E на прямую MK. а) Докажите, что EK ∥ CH. б) Известно, что AC = 15, BC = 8. Найти отношение CH к EK.

На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) отложены отрезки BP и AQ соответственно, причём BP = AQ, причем точки P и Q не являются серединами сторон AB и AC. а) Докажите, что средняя линия треугольника ABC, параллельная его основанию BC, делит отрезок PQ пополам. б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если $\angle A = 60 градусов$ BP = 4, а периметр треугольника ABC равен 18.

В треугольнике АВС BC = 8, AC = 7 проведена биссектриса ВЕ, которая пересекает сторону АС в точке E, причем известно, что центр О вписанной в треугольник АВС окружности делит ВE в отношении BO : OE = 2 : 1. а) Докажите, что сторона АВ делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5 : 7, считая от точки А. б) Найдите площадь треугольника АВС.

Через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая стороны BA и BC в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника MBN равен сумме AB + BC. б) Найдите длину отрезка MN, если BA = 11, BC = 13, AC = 12.

Окружность с центром в точке О вписана в треугольник АВС, пересекает отрезок АО в точке М и касается стороны АВ в точке N. Прямые NM и BO параллельны. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный. б) Прямая ВО пересекает вписанную окружность в точке L $левая круглая скобка BL больше BO правая круглая скобка$ Найдите отношение площади четырёхугольника BNML к площади треугольника АВС, если $косинус \angle ABC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби$

В прямоугольной трапеции ABCD с меньшей боковой стороной АВ = 4 и $\angle ADC = арктангенс 2$ из вершины D на диагональ АС опущен перпендикуляр DH. При этом треугольники АВС и DHA равны. Точки О1 и О2 — центры окружностей, вписанных в треугольники АВС и DHA. а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна CD. б) Найдите площадь четырёхугольника О1CDO2.

Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC. а) Докажите, что AC = 9. б) Найдите площадь треугольника ABC, если $\angle ACB = 90 градусов$

В треугольнике АВС высота СН и медиана CK делят угол АСВ на три равных угла. Площадь треугольника АВС равна $1,5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. б) Найдите радиус вписанной в треугольник АВС окружности.

Вписанная в треугольник ABC окружность ω1 касается стороны BC в точке N так, что CN : NB = 1 : 2. Окружность ω2 касается стороны BC в точке M так, что BM : MC = 1 : 2, а также касается продолжения стороны AC за точку C. а) Докажите, что прямая AB касается окружности ω2. б) Найдите угол BAC, если BC ⊥ AC.

Периметр треугольника ABC равен 24. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC. а) Докажите, что $AC = 6$ б) Найдите площадь треугольника ABC, если $\angle A C B = 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M. а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности. б) Найдите $синус \angle BMC$ если известно, что отрезок ВМ в 2,8 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что $B D плюс C E=B C$ точка I — центр вписанной окружности треугольника АВС. а) Докажите, что точки A, E, I и D лежат на одной окружности. б) Точка $D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ симметрична точке D относительно прямой AI. Найдите радиус описанной окружности треугольника $E D D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ если $D в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка E=2$ а радиус вписанной окружности треугольника АВС равен $дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби$

Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC. а) Докажите, что $A C в квадрате = B C умножить на C K$ б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если $синус B = 0,6$ и сторона AC = 24.

Биссектриса AD большего угла треугольника ABC со сторонами 24, 40 и 56 делит его на два треугольника, в каждый из них вписана окружность. а) Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 9 : 10. б) Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с биссектрисой AD.

Окружность с центром O вписана в треугольник ABC. Касательная к окружности пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. а) Докажите, что сумма углов AOD и BOE равна 180°. б) Найдите DE, если AC = BC, радиус окружности равен 3, $тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle BAC правая круглая скобка = дробь: числитель: 5 корень из 3 , знаменатель: 11 конец дроби$ а разность углов AOD и BOE равна 60°.

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что $\angle B B_1 C_1=\angle B A H$ б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если $B_1 C_1=9$ и $\angle B A C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

Первая окружность проходит через вершины А и В треугольника ABC и пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Вторая окружность проходит через точки D и E и пересекает продолжения сторон BC и AC за вершину C в точках M и N соответственно. а) Докажите, что прямая MN параллельна прямой AB. б) Прямые MD и NE вторично пересекают первую окружность в точках X и Y соответственно. Найдите ее радиус, если $A X=X Y=2$ a AB = 4.

Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки I и J — центры окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD соответственно. а) Докажите, что прямые BI и DJ параллельны. б) Найдите IJ, если AC = 12, $косинус \angleBDC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби$

В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AB опущена высота CH. В треугольнике ACH проведена биссектриса CE угла ACH. а) Докажите, что треугольник BCE — равнобедренный. б) Найдите EO, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, и известно, что AC = 8, BC = 6.

Окружность вписана в треугольник ABC, P — точка касания окружности со стороной AB, точка M — середина AB. а) Докажите, что $MP= дробь: числитель: |AC минус CB|, знаменатель: 2 конец дроби$ б) Найдите углы треугольника, если MC = MA, AC > BC, $MP= дробь: числитель: r, знаменатель: 2 конец дроби$

Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором $косинус \angle ABC=0,8$ Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника ABC.

На стороне KM остроугольного треугольника PKM (PK ≠ PM) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту PS в точке T, PS = 8, TS = 6, H — точка пересечения высот треугольника PKM. а) Найдите PH. б) Полуокружность пересекает стороны PK и PM в точках L и N соответственно. Найдите коэффициент подобия треугольников PKM и PNL, если радиус полуокружности равен 20.

Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану BM на три равные части. а) Докажите, что BC : CA : AB = 5 : 10 : 13. б) Найдите радиус вписанной окружности, если BM = 12.

В каждый угол равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = 10, AC = BC = 13, вписана окружность единичного радиуса, точки О1, О2 и О3 центры этих окружностей. Найдите: а) радиус окружности, вписанной в треугольник ABC; б) площадь треугольника О1, О2, О3.

В треугольнике ABC AB = 3, $\angleACB= арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что $\angleABC=\angleCML$ площадь четырёхугольника ABLM равна 2, LM = 1. а) Докажите, что треугольник KNC равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника KNC.

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N. а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны. б) Найдите площадь четырехугольника BOMN, если CN = 8, AM : MC = 1 : 3.

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А. а) Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС. б) Пусть $\angle ABC=90 градусов$ AM = 3, CM = 2, Q — точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т — такая точка на отрезке РQ, что $\angle OAT=45 градусов$ Найдите QT.

В прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 4, ВС = 3 вписана окружность с центром О, касающаяся сторон ВС, АС и АВ треугольника в точках R, Q, P соответственно. а) Докажите, что AO · BO · CO = 10. б) Найдите площадь треугольника PQR.

В треугольник ABC вписана окружность радиуса 4, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 8 и CM = 12. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK. а) Докажите, что $дробь: числитель: AK, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: CK, знаменатель: BC конец дроби$ б) Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 13, BC = 7 и $BK= дробь: числитель: 7 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби$