Вписанные окружности и четырехугольники

Окружность с центром в точке О, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD с основаниями $BC меньше AD$ касается боковой стороны CD в точке K. Прямая АK пересекает высоту CН трапеции в точке Р и проходит через точку О. а) Докажите, что ВС : AD = 1 : 3. б) Найдите отношение площади треугольника AРQ к площади трапеции ABCD, если Q — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD.

В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC $левая круглая скобка AD больше BC правая круглая скобка$ вписана окружность с центром O. Из вершины C опущена высота CH. а) Докажите, что прямая AO является серединным перпендикуляром к отрезку BH. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если радиус вписанной в неё окружности равен 4, а длина отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности с боковыми сторонами, равна $дробь: числитель: 64, знаменатель: 15 конец дроби$

Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны AB в точке K, а стороны AD в точке E. Отрезки CK и CE пересекают окружность в точках M и P соответственно. а) Докажите, что прямые EK и MP параллельны. б) Найдите ME, если сторона квадрата равна 10.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается ее боковой стороны CD в точке M. Луч AM вторично пересекает окружность в точке N, а прямую BC в точке K, причем AN = 4, MN = 12. а) Докажите, что $\angle AMD = \angle MCK$ б) Найдите основания трапеции.

В ромбе ABCD точки K и L — середины сторон BC и CD соответственно. Прямые AK и AL пересекают диагональ BD в точках P и Q соответственно. а) Докажите, что SAPQ = SBKP + SDLQ. б) Известно, что в пятиугольник CKPQL можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна $6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$

В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что $\angle MNK = 90 градусов$ $\angle NKL = \angle KLM =120 градусов$ а) Докажите, что точка А лежит на прямой LO. б) Найдите длину стороны МN, если LA = 1.

В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, а углы АВС и ADC — прямые. а) Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются в точке пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. б) Найдите АС, если периметр треугольника ADC равен 44, а расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и DBC, равно 6.

В параллелограмме ABCD на стороне AD отмечена точка N так, что в четырехугольник BCDN можно вписать окружность. Известно, что $дробь: числитель: BC, знаменатель: AB конец дроби = корень из 2$ $дробь: числитель: DN, знаменатель: AN конец дроби = 1 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби$ а) Докажите, что высоты параллелограмма, опущенные из вершины C, делят угол BCD на три равные части. б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник BCDN, если AC = 2.

В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О. а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной в четырехугольник АВCD окружности, если AC = 12 и BD = 13.

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках М и N соответственно. Известно, что $A M = 6 M B$ и $2 D N = 3 C N$ а) Докажите, что $A D = 3 B C$ б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен $корень из: начало аргумента: 105 конец аргумента$

Окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются между собой. а) Докажите, что в трапецию можно вписать окружность. б) Найдите основания этой трапеции, если её боковые стороны равны 3 и 8, а большая сторона основания видна из центра вписанной окружности под углом 120°.

На окружности отмечены точки K, L, M, N, причем прямые KL и MN пересекаются вне круга в точке E, прямые LM и KN пересекаются вне круга в точке F. Биссектриса угла KEN пересекает отрезки LM и KN в точках P и R соответственно. Прямая, проведенная через точку F перпендикулярно прямой PR, пересекает отрезки KL и MN в точках S и Q соответственно. а) Докажите, что PQRS — ромб. б) Найдите площадь четырехугольника PQRS, если известно, что EL = 4, EM = 6, LM = 5 и KN = 15.

Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC переcекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K. а) Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB = 10, $BC= корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента$ AC = 9.

Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, K — точка касания окружности со стороной AB. а) Докажите, что $A B умножить на корень из: начало аргумента: A K умножить на B K конец аргумента =A O умножить на B O$ б) Найдите отношение меньшего основания трапеции к большему, если известно, что AB = CD, а площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет $дробь: числитель: 16, знаменатель: 81 конец дроби$ площади трапеции ABCD.

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Отрезок AN пересекает окружность в точке K, а луч MK пересекает основание AD в точке L. а) Докажите, что треугольник AKL подобен треугольнику MAL. б) Найдите отношение AL : LD.

В трапеции АВСD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям AD и ВС. В эту трапецию вписали окружность с центром О. Прямая АО пересекает продолжение отрезка ВС в точке Е. а) Докажите, что AD = CE + CD. б) Найдите площадь трапеции ABCD, если AE = 10, $\angle BAD=60 градусов$

На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что $A M=M C$ а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC. б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если $A B=5$ $B C=10$ $\angle B A D=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно. а) Докажите, что отрезки AM и MK равны. б) Найдите MK, если AB = 5, AC = 8.

Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R с центром в точке O, его диагонали AC и BD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD пересекаются в точке Q. а) Докажите, что $AQ умножить на DQ плюс BP умножить на DP=OQ в квадрате минус OP в квадрате$ б) Найдите R, если АВ = 5, CD = 6, $\angle AQB=30 градусов$

На окружности ω отмечены точки M, N, K таким образом, что MN — диаметр, а K — середина дуги MN. Точка E — середина хорды MK. Точка B — середина дуги KN, не содержащей точку M. Через точку E проведена хорда AB. а) Докажите, что $AE:BE=1:3$ б) В окружность ω вписан прямоугольник ABCD. Найдите его площадь, если $MN=3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$

Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. а) Докажите, что AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB. б) Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB = CD, а основания трапеции относятся как 1 : 2.

Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD. а) Докажите, что углы AEB и BDA равны. б) Найдите площадь трапеции, если AB = 50, а $косинус AEB = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби$

Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K. а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны. б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, $\angle BAC = 30 градусов$ а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.

В параллелограмме ABCD расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон AD, AB и BC, вторая — сторон AD, CD и BC. а) Докажите, что общая внутренняя касательная l окружностей проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. б) Пусть ABCD — прямоугольник, а прямая l касается окружностей в точках M и N. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках M, N и в центрах окружностей, если AD = 16, а расстояние между центрами окружностей равно 10.

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую BC в точке P. В каком отношении делит сторону AB (считая от точки B) прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AN : ND = 1 : 2.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность. а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны. б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 24.

Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружности, построенные на боковых сторонах KL и MN как на диаметрах, пересекаются в точках A и B. а) Докажите, что средняя линия трапеции лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. б) Найдите AB, если известно, что боковые стороны трапеции равны 26 и 28, а средняя линия трапеции равна 15.

В окружность радиуса $2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$ с центром в точке O вписана трапеция ABCD. Основание трапеции AD является диаметром окружности, угол BAD равен 60°. Хорда СЕ пересекает диаметр AD в точке Р такой, что AP : PD = 1 : 3. а) Докажите, что точка Р — cередина отрезка АО. б) Найдите площадь треугольника BPE.

Окружность, вписанная в ромб ABCD , касается сторон CD и BC в точках M и Q соответственно. Прямые AM и BC пересекаются в точке P. а) Докажите, что $BP умножить на BQ = BC в квадрате$ б) Найдите угол $\angle APC$ если $DM =1$ и $MC = 4$

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P. а) Докажите, что $\angle POC=\angle PCO$ б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а $\angle ABC = 120 градусов$