Угол между скрещивающимися прямыми

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 12, а высота равна 3. На ребрах AB, CD, AS отмечены точки E, F и К соответственно, причем $A E =D F = 4$ и AK = 3. а) Докажите, что плоскости KEF и SBC параллельны. б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

Дана пирамида SABC, в которой AB = AC = SB = SC = 17 и BC = SA = 16. Точки М и N — середины ребер ВС и SA. а) Докажите, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA. б) Найдите объем пирамиды ABMN.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали пересекаются в точке О. Точки М и N — середины ребер АВ и ВС соответственно. а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точку О параллельно прямым B1M и C1N, делит ребро BB1 в отношении 1 : 1. б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α, если AB = 6, BC = 4 и AA1 = 3.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка К лежит на ребре SC и делит его в отношении 1 : 3, считая от вершины. Точка M — середина AS. Через МK проведено сечение, параллельное прямой DC. а) Докажите, что сечение является равнобедренной трапецией. б) Найдите угол между прямыми MK и DC, если $S A = A B = 16$

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6 и $B C= корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента$ Длины боковых рёбер пирамиды $S A=4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ $S B=2 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента$ и $S D= корень из: начало аргумента: 62 конец аргумента$ а) Докажите, что SA — высота пирамиды SABCD. б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 5 и $B C= корень из: начало аргумента: 23 конец аргумента$ Длины боковых рёбер пирамиды $S A=2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента$ $S B= корень из: начало аргумента: 85 конец аргумента$ и $S D= корень из: начало аргумента: 83 конец аргумента$ а) Докажите, что SA — высота пирамиды SABCD. б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены середины P и E отрезков AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B1E и СР перпендикулярны. б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $B_1 E =5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ?$

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA = 5, а высота $SO= корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента$ Точки M и N — середины ребер CD и АВ соответственно. Точка N — вершина пирамиды NSCD, NT — ее высота. а) Докажите, что точка T делит SM пополам. б) Найдите расстояние между прямыми NT и SC.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра BC = 5 и AB = AA1 = 8, M и N — середины ребер CD и АА1 соответственно. Плоскость α проходит через точки M и B и параллельна прямой CD1. а) Докажите, что прямая DN параллельна плоскости α. б) Найдите расстояние между прямыми C1D и BD1.

В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC. Все боковые ребра наклонены к основанию под одним и тем же углом. а) Докажите, что прямая AB перпендикулярна плоскости, проходящей через середину ребра AB и ребро DC. б) Найдите расстояние между прямыми AB и CD, если $AB=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ $AD=5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S в грани SBC проведена высота SH, а в грани SEF проведена высота SK. а) Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости SHK. б) Найдите угол между прямыми BE и SH, если SA = 13, а BC = 10.

Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N — середины рёбер АD и BC соответственно. а) Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС. б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если $BD=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ AC = 16.

В основании прямой призмы АВСDA1В1С1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Известно, что AD : BC = 2 : 1 и АВ = ВС. а) Докажите, что прямые DB1 и A1B1 перпендикулярны. б) Найдите угол между прямыми CD1 и DB1, если боковая грань AA1D1D — квадрат.

В правильном тетраэдре АВСD точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD. а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны. б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1. а) Докажите, что прямая AB1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AC и BC1. б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 1. а) Докажите, что $AC_1\perp BE$ б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD проведена высота PH. N — середина отрезка AH, M — середина ребра AP. а) Докажите, что угол между прямыми PH и BM равен углу BMN. б) Длины всех ребер данной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми PH и BM.

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF. а) Докажите, что угол между прямыми SB и CD равен углу SBE. б) Если стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD.

В правильном тетраэдре ABCD проведена высота DH. K — середина отрезка CH. BM — медиана боковой грани BCD. а) Докажите, что угол между DH и BM равен углу BMK. б) Найдите угол между DH и BM.

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби$ Точка M — середина ребра SC, точка N — середина ребра AC. а) Докажите, что угол между прямыми BM и SA либо равен углу BMN, либо дополняет его до 180°. б) Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.

На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE : EC1 = 1 : 2. а) Пусть точка F делит ребро BB1 в отношении 1 : 2, считая от вершины B1. Докажите, что угол между прямыми BE и AC1 равен углу AC1F. б) Найдите угол между прямыми BE и AC1.

Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. а) Докажите, что угол между прямыми BE и AD равен углу CBE. б) Найдите угол между прямыми BE и AD.

В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны. а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником. б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB = 10.

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ Высота призмы равна 6. а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AC1 и параллельная прямой CB1 проходит через середину ребра A1B1. б) Найдите угол между прямыми AC1 и CB1.

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8. Высота этой призмы равна 6. а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AB1 и параллельная прямой CA1 проходит через середину ребра BC. б) Найти угол между прямыми CA1 и AB1.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен $2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента$ а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны. б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Точка M — середина ребра BC, точка L — середина ребра AB. а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A. б) Найдите угол между прямыми DM и CL.