Угол между плоскостями

В правильном тетраэдре ABCD все ребра равны 10. На ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 6. а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 16 : 9. б) Найдите косинус угла между плоскостью CBD и плоскостью CMK.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA. а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α. б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 6.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 боковое ребро в два раза больше стороны основания. Плоскость α проходит через центр основания ABCDEF перпендикулярно прямой BE1. а) Докажите, что плоскость α делит ребро AA1 в отношении 1 : 3, считая от точки A. б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABB1.

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 2. Точка T — середина ребра B1C1 а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является трапецией. б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью A1B1C1, если известно, что $AB = 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ $AD = 4$ $AA_1 = 14$

Дана правильная призма ABCA1B1C1. Точка K лежит на ребре AB и делит его в отношении AK : KB = 3 : 1. Точка L — середина ребра BC. Плоскость α проходит через точки K и L и пересекает ребра B1C1 и A1B1 в точках M и N соответственно. Известно, что B1M : MC1 = 3 : 1. а) Докажите, что MN ⊥ AB. б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью основания призмы, если все рёбра призмы равны.

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. Плоскость α проходит через ребро AB и пересекает ребра SC и SD в точках M и N соответственно. Известно, что $AB = AN = BM = 5MN$ а) Докажите, что $SM : MC = SN : ND = 1 : 4$ б) Найдите косинус угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды.

Через середину высоты правильной четырёхугольной пирамиды SABCD параллельно основанию проведено сечение A1B1C1D1, диагонали которого пересекаются в точке O1. На ребрах AD и SB отмечены точки K и М соответственно так, что AK : KD = 3 : 5, SM : MB = 3 : 1. а) Докажите, что плоскость KMO1 параллельна SA. б) Найдите угол между плоскостью KМО1 и плоскостью АВС, если боковые ребра пирамиды SABCD наклонены к плоскости основания под углом 60°.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1A1B1C1D1 точки M, N и K делят ребра AA1, BB1, DD1 в отношении 1 : 5, 1 : 4 и 1 : 2 соответственно, считая от нижнего основания ABCD. а) Докажите, что плоскость MNK делит ребро CC1 в отношении 11 : 19, считая от нижнего основания. б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы, если сторона основания призмы равна $корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента$ а высота равна 30.

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1, а на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 5. Известно, что $AB = 5 корень из 2$ AD = 12, AA1 = 16. а) Докажите, что плоскость EFD1 делит ребро B1C1 на два равных отрезка. б) Найдите угол между плоскостью EFD1 и плоскостью AA1B1.

У правильной шестиугольной пирамиды ABCDEFS с вершиной S боковые ребра вдвое длиннее стороны основания. Точка N делит диагональ основания AD в отношении AN : ND = 1 : 3. Плоскость α приходит через точки Е и N параллельно медиане боковой грани SCD, проведенной из точки С. а) Докажите, что плоскость α делит площадь боковой грани ASF в отношении 25 : 17. б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью АВС.

Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD с острым углом A, равным 60°, а боковое ребро равно стороне основания. Через середины ребер A1D1, D1C1 и точку B проведена плоскость α. а) Найдите отношение площади сечения призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью α к площади основания призмы. б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью DCC1.

В основании пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами лежит прямоугольник ABCD. Через точку пересечения медиан грани SBC и вершину A проходит плоскость α, параллельная ребру SD. а) Докажите, что плоскость α проходит через точку C. б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью SBC, если $BC : SB : AB = 1 : 2 : корень из 3$

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S на ребрах AB, BC и SC отмечены точки K, L и M соответственно. Известно, что AK : KB = BL : LC = 2 : 1, SM : MC = 7 : 1. а) Докажите, что плоскость KLM проходит через середину ребра SD. б) Найдите угол между плоскостью KLM и плоскостью основания пирамиды, если высота пирамиды равна диагонали основания.

Основанием пирамиды с вершиной S является равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 2BC. Сечение пирамиды SABCD проходит через точку B и является прямоугольником. Известно, что это сечение делит высоту пирамиды в отношении 2 : 1, считая от вершины S. а) Докажите, что высота пирамиды SABCD проходит через середину высоты основания ABCD. б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью боковой грани SAB, если плоскость сечения наклонена к плоскости основания под углом 15°, а одна из сторон сечения равна большему основанию трапеции ABCD.

Точки M и N — середины ребер AB и BC соответственно куба ABCDA1B1C1D1. Прямые CM и DN пересекаются в точке O. Через центры граней ABB1A1 и BCC1B1 и точку O проходит плоскость α. а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB куба в отношении 1 : 4, считая от точки A. б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки K, L и M соответственно так, что KLMC — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 8. а) Докажите, что точка M — середина ребра B1C1. б) Найдите угол между плоскостями KLM и ABC, если площадь трапеции KLMC равна $12 корень из 2$

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки K, L и M соответственно так, что KLMC — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4. а) Докажите, что точка M — середина ребра B1C1. б) Найдите угол между плоскостями KLM и ABC, если площадь трапеции KLMC равна 6.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 4, a боковое ребро равно 2. Через точку пересечения диагоналей грани AA1BB1 и середину ребра СС1 проходит плоскость α под углом 45° к плоскости основания призмы, пересекающая сторону ВС. а) Докажите, что плоскость α проходит через середину М ребра ВС. б) Найдите угол между плоскостями α и AB1M.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 ребра основания равны 4, а боковые рёбра равны 5. Точка K — середина ребра B1C1, точка P лежит на ребре CC1 так, что $C_1 P : P C = 1 : 4$ а) Докажите, что прямые АР и РK перпендикулярны б) Найдите угол между плоскостями АРK и САA1.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точки M, N, K делят ребра AA1, BB1, DD1 в отношении 1 : 4, 1 : 5, 1 : 3, считая от нижнего основания ABCD. а) Докажите, что плоскость MNK делит ребро CC1 в отношении 13 : 47, считая от нижнего основания. б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы, если сторона основания равна $корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента$ а высота равна 60.

Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями AD = 5 и BC = 4. Точка M делит ребро A1D1 в отношении $A_1M : MD_1 = 1 : 4$ точка K — середина ребра DD1. a) Доказать, что плоскость MCK параллельна прямой BD. б) Найти тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания, если $\angle BAD=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ a $\angle C K M=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки К и М соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 1 : 5. Плоскость α содержит прямую КМ и параллельна прямой BC. а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA. б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

В правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны. Точки M и N — середины ребер SA и SC соответственно. а) B каком отношении плоскость BMN делит высоту SH пирамиды? б) Найдите угол между плоскостью BMN и основанием пирамиды, если ребра пирамиды равны 12.

Трапеция KLMN является основанием пирамиды PKLMN, $\angle KLM плюс \angle LMN=270 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ Q — точка пересечения прямых KL и MN. Плоскости КPL и PMN перпендикулярны плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскости KPL и PMN взаимно перпендикулярны. б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды PLQM, если $KL=LM=MN=12$ a высота пирамиды PKLMN равна 8.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка K является серединой ребра SD, а точка L — серединой стороны BC основания ABCD. Плоскость AKL пересекает ребро SC в точке N. а) Докажите, что SN : NС = 2 : 1. б) Найдите угол между плоскостями AKL и ABC, если AB = 10, а высота пирамиды равна 20.

Основанием прямой призмы ABCDА1B1C1D1 является ромб с тупым углом B, равным 120°. Все ребра этой призмы равны 10. Точки P и K — середины ребер CC1 и CD соответственно. а) Докажите, что прямые PK и PB1 взаимно перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями PKB1 и C1B1B.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые ребра равны 6. Точка M — середина ребра CC1, на ребре BB1 отмечена точка N, такая, что BN : NB1 = 1 : 2. а) Докажите, что плоскость AMN делит ребро DD1 в отношении 1 : 5, считая от точки D. б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.

В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AE = AL = 4. а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды. б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Дана правильная треугольная пирамида SABC, AB = 24, высота SH, проведённая к основанию, равна 14, точка K — середина AS, точка N — середина BC. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно. а) Докажите, что PQ проходит через середину отрезка SN. б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью APQ.

В кубе ABCDA1B1C1D1 со стороной 8 на ребре AA1 взята точка K такая, что A1K = 1. Через точки K и B1 проведена плоскость α, параллельная прямой AC1. а) Докажите, что A1P : PD1 = 1 : 6, где P — точка пересечения плоскости α и ребра A1D1. б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ADD1.