Треугольники и их свойства

В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Из точки H проведены перпендикуляры HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E. а) Докажите, что прямые EH и AB параллельны. б) Найдите ME, если известно, что AB = 17 и AC = 16.

В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Из точки H проведены высоты HK и HM на стороны AC и AB соответственно. Прямая MK пересекает прямую CT в точке E. а) Докажите, что EH ∥ AB. б) Найдите HE, если известно, что AB = 13 и AC = 10.

В треугольнике ABC проведена медиана AM. На продолжении медианы AM за точку M отложена точка D так, что AM = MD. На отрезке CD взята точка P так, что CP : PD = 1 : 2. Прямая BP пересекает прямую AC в точке E, а прямую AD — в точке O. Прямая CO пересекает прямую AB в точке K. а) Докажите, что AK : KB = 3 : 1. б) Найдите площадь треугольника KOE, если известно, что площадь треугольника ABC равна 160.

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3. а) Докажите, что AN = 2KM. б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключенного внутри треугольника KMN, если AB = 10, BC = 16.

В треугольнике АВС биссектриса AD пересекает высоту ВН в точке О. Прямая СО перпендикулярна AD и пересекает АВ в точке N, причем NB = NO. а) Докажите, что $\angle BAC = 60 градусов$ б) Найдите ВС, если радиус окружности, вписанной в треугольник АВС равен $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

В треугольнике АВС медиана АK, биссектриса BL и высота СМ пересекаются в одной точке Р, СР = 5, РМ = 3. а) Докажите, что ВС параллельна ML. б) Найдите площадь треугольника АВС.

В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и N соответственно, причем ВМ = ВN. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная ВС, а через точку N — прямая, перпендикулярная АВ. Эти прямые пересекаются в точке О. Продолжение отрезка ВО пересекает сторону АС в точке Р, АР = 5, РС = 4. а) Докажите, что ВР — биссектриса треугольника АВС. б) Найдите длину отрезка ВР, если ВС = 6.

В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC. а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны. б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC = 1, а AC = 5.

Дан параллелограмм ABCD c острым углом DAB. В нем опущены высоты BP и BQ на стороны AD и CD соответственно. На стороне AD отмечена точка M так, что AM = BP. Известно, что AB = BQ. а) Докажите, что BM = PQ. б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM = BP = 12, AB = BQ = 15.

В треугольнике ABC проведены высота AH и медиана AM, угол ACB равен 30°. Точка H лежит на отрезке BM. В треугольнике ACM проведена высота MQ. Прямые MQ и AH пересекаются в точке F. Известно, что AM — биссектриса угла HAC. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника CFM, если AB = 10.

В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН из вершины прямого угла, АМ и СN — биссектрисы треугольников ACH и ВСН соответственно. а) Докажите, что прямые АМ и СN перпендикулярны. б) Найдите длину отрезка МN, если ВС = 20 и $синус \angle ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$

В треугольнике FGH угол G прямой. Точка D лежит на стороне FH, A и В — точки пересечения медиан треугольников FGD и DGH соответственно, L — середина DF, K — середина DH. а) Докажите, что KL : FH = 1 : 2. б) Найдите площадь треугольника GAB, если FG = 8, GH = 2.

В прямоугольном треугольнике MNK точки P и T — середины гипотенузы NK и катета MK соответственно. Биссектриса угла MNK пересекает прямую PT в точке Q. а) Докажите, что треугольники KQM и NPQ подобны. б) Найдите косинус угла KNM, если отношение площадей треугольников KQM и NPQ равно 0,8.

Дан равносторонний треугольник АВС. На стороне АС выбрана точка М, серединный перпендикуляр к отрезку ВМ пересекает сторону АВ в точке E, а сторону ВС в точке K. а) Докажите, что угол АЕМ равен углу СМK. б) Найдите отношение площадей треугольников АЕМ и СМK, если AM : CM = 1 : 4.

На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC со сторонами $AB = BC =8$ и $AC = 6$ отмечены точки E и D соответственно так, что $AE = 2$ $CD = 1$ Отрезки AD и CE пересекаются в точке O. а) Докажите, что отношение площадей треугольников AOE и COD равно 14 : 3. б) Найдите площадь четырехугольника BDOE.

В треугольнике FGH угол G прямой, $F G = 8$ $G H = 2$ Точка D лежит на стороне FH, A и B — точки пересечения медиан треугольников FGD и DGH соответственно. а) Докажите, что $9 B G в квадрате плюс D H в квадрате = 2 левая круглая скобка D G в квадрате плюс G H в квадрате правая круглая скобка$ б) Найдите площадь треугольника GAB.

В треугольнике MNK известно, что: $M N=6$ $N K = 7$ и $\angle M N K=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ В треугольник MNK вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне MN, одна на стороне NK и одна на стороне MK. Через середину стороны MN и центр квадрата проведена прямая, которая пресекается с высотой KH в точке O, а с прямой NK — в точке F. а) Докажите, что $KO = OH$ б) Найдите FK.

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке Н. Через точку C1 параллельно высоте BB1 проведена прямая, пересекающая высоту АА1 в точке К. а) Докажите, что $A B умножить на K H = B C умножить на C_1 H$ б) Найдите отношение площадей треугольников С1HK и ABC, если $AB = 4$ $B C = 5$ и $A C = корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента$

Отрезок AA1 — высота остроугольного треугольника ABC, H — точка пересечения его высот, М — середина стороны ВС. а) Докажите, что $A H умножить на A A_1 = A M в квадрате минус B M в квадрате$ б) Найдите длину отрезка АН, если $A B=15$ $A C=13$ и $A M=2 корень из: начало аргумента: 37 конец аргумента$

В остроугольном треугольнике ABC $A B больше A C$ угол A равен 60°. Точка D — точка пересечения биссектрис, точка Н — точка пересечения высот. а) Докажите, что точки B, C, H и D лежат на одной окружности. б) Найдите угол ABC, если $\angle A H D = 51 градусов$

На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки C1 и B1 соответственно. Оказалось, что BC1 = CB1 = BC. а) Докажите, что точки B, C и середины отрезков BB1 и CC1 лежат на одной окружности. б) Найдите косинус угла между прямыми BB1 и CC1, если BC = 8, AB = 15, AC = 17.

На стороне AC равностороннего треугольника ABC взяли точку M. Серединный перпендикуляр к BM пересекает AB и BC в точках E и K соответственно. а) Докажите, что углы AEM и KMC равны. б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и MKC, если $AM : C M = 2:5$

На медиане AD треугольника ABC отметили точку E. Точка F — середина отрезка BE, G — точка пересечения отрезков AD и CF. Отношение площади треугольника EFG к площади треугольника ABC равно 1 : 8. а) Докажите, что $AE : ED =1: 3$ б) Найдите площадь четырехугольника BDGF, если $B C=3 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента$ AB = 7 и AC = 10.

В треугольнике ABC на сторонах BC, AC и AB взяты соответственно точки A1, B1, C1 так, что прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. а) Докажите, что $дробь: числитель: B A_1, знаменатель: A_1 C конец дроби умножить на дробь: числитель: C B_1, знаменатель: B_1 A конец дроби умножить на дробь: числитель: A C_1, знаменатель: C_1 B конец дроби =1$ б) Пусть Р — точка пересечения прямых AA1, BB1, CC1. Найдите отношение $дробь: числитель: A P, знаменатель: P A_1 конец дроби$ если известно, что точки B1 и C1 делят стороны AC и AB соответственно в отношениях 3 : 2 и 2 : 1, считая от вершины A.

В треугольнике KLM на продолжении стороны KL за точку L взята точка D, точка N лежит на пересечении биссектрисы угла MLD и прямой KM. Отрезки KC и NP — биссектрисы треугольника KLN, $\angle P M C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ а) Докажите, что $\angle K L M=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ б) Найдите площадь треугольника LMC, если KL = 10 и ML = 5.

На сторонах острого угла с вершиной О взяты точки А и В. На луче ОВ взята точка M на расстоянии 3OA от прямой OA, а на луче OA — точка N на расстоянии 3OB от прямой ОВ. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 3. а) Докажите, что треугольник АОВ подобен треугольнику MON. б) Найдите длину отрезка MN.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высота BH и медиана AM, причем точки A, B, Н и М лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AM: BH = 4 : 3$ и MH = 3.

В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP точка N так, что углы BMC и ANC — прямые. Известно, что $\angle M C N=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $M N=4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ а) Докажите, что $дробь: числитель: M D в квадрате , знаменатель: B D умножить на C D конец дроби =1$ б) Найдите длину биссектрисы CL треугольника MCN.

На стороне BC треугольника ABC, в котором $AB меньше BC$ взята точка D так, что $BD = AB$ Биссектриса BL пересекает отрезок AD в точке P, отрезок CK — перпендикуляр к прямой AD. а) Докажите, что $дробь: числитель: B C, знаменатель: A B конец дроби минус дробь: числитель: D K, знаменатель: A P конец дроби =1$ б) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырехугольника CDPL, если $AB : BC =5: 7$

Дан треугольник АВС. Биссектриса внутреннего угла при вершине В пересекает биссектрису внешнего угла при вершине С в точке М, а биссектриса внутреннего угла при вершине С пересекает биссектрису внешнего угла при вершине В в точке N. а) Докажите, что $\angle NMB =\angle NCA$ б) Найдите CN, если $AB = AC =10$ и $BC =16$