Треугольники

В треугольнике ABC стороны AB и BC соответственно равны 3 и 5, а угол между ними 120°. Серединные перпендикуляры к AB и BC пересекают AC соответственно в точках L и N. а) Докажите, что BN : (BL + LN) = 5 : 8. б) Найдите отношение радиусов окружностей, вписанных соответственно в треугольники BCN и ABL.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены высоты AK, BM, CP. а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.

В треугольнике АВС, площадь которого равна 2, на медианах AK и BL и CN взяты соответственно точки Р, Q и R так, что АР = РК, BQ : QL = 1 : 2, а CR : RN = 5 : 4. а) Докажите, что MR : CN = 1 : 9. б) Найдите площадь треугольника PQR.

Два одинаковых правильных треугольника АВС и CDE расположены на плоскости так, что имеют только одну общую точку С, и угол BCD меньше, чем $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ Точка K — середина отрезка АС, точка L — середина отрезка СЕ, точка М — середина отрезка BD. а) Докажите, что треугольник KLM — равносторонний. б) Найдите длину отрезка BD, если площадь треугольника KLM равна $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби$ а сторона треугольника АВС равна 1.

Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону AC этого треугольника так, что AR : RC = 1 : 2. Точки S и T — точки пересечения прямой BR с прямыми AP и AQ соответственно. а) Докажите, что площади треугольников ABS и AST равны. б) Найдите отношение площади четырехугольника PQTS к площади треугольника ABC.

В остроугольном треугольнике ABC угол А равен 40°, отрезки BB1 и CC1 — высоты, точки B2 и С2 — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B1C2 и C1B2 пересекаются в точке K. а) Докажите, что точки B1, B2, С1 и С2 лежат на одной окружности. б) Найдите угол B1KB2.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке P. Известно, что АС = 26, DE = 10. а) Найдите отношение радиусов окружностей, вписанных в треугольники DEP и ACP. б) Найдите расстояние между серединами отрезков АС и DE.

Высоты равнобедренного остроугольного треугольника ABC, в котором AB = BC, пересекаются в точке O. Отрезок AO = 5, а длина высоты AD равна 8. а) Докажите, что длина стороны AC треугольника ABC равна высоте, опущенной на нее из вершины B. б) Найдите площадь треугольника ABC.

В трапеции ABCD отношение оснований AD : BC = 5 : 2. Точка M лежит на AB, площадь трапеции ABCD равна 20. а) Докажите, что площадь треугольника MCD не превосходит 15. б) Найдите отношение AM : MB, если известно, что площадь треугольника МСD равна 9.

В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB, $BC больше AC$ На катете BC взята точка K такая, что $\angle MKC=\angle BAC$ а) Докажите, что угол KMC прямой. б) Пусть N — вторая (помимо M) точка пересечения прямой СМ и описанной окружности треугольника BMK. Найдите угол АNВ.

Окружность радиуса $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и P и пересекает строну AB в точках M и N (точка N между точками B и M). Известно, что MP и AC параллельны, $CK = 2$ $BP = 6$ а) Найдите угол BCA. б) Найдите площадь треугольника BKN.

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH — высота этого треугольника. а) Докажите, что углы ABH и CBO равны. б) Найдите BH, если $AB=16$ $BC =18$ $BH =BO$

Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N. а) Докажите, что $\angle CAN=\angle CMN$ б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если $тангенс \angle BAC= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$

Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиуса 5 проходит через вершину K, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A. Известно, что $ML=9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ $KA:LB=5:6$ а) Найдите угол K треугольника KLM. б) Найдите площадь треугольника KLM.

Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть E — точка пересечения продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку E и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание BC в точке P, а большее основание AD — в точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причем $EF:FC=EP:EQ=1:3$ а) Докажите, что прямая EQ точками пересечения делит основания трапеции пополам. б) Найдите площадь треугольника EPF.

В окружность с центром О вписан треугольник ABC $левая круглая скобка \angle A больше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ Продолжение биссектрисы AF угла A этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус AO пересекает сторону BC в точке E. Пусть AH — высота треугольника ABC. Известно, что $AL=4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ $AH= корень из: начало аргумента: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента$ $\angle AEH= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ а) Докажите, что AF — биссектриса угла EAH. б) Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырехугольника OEFL.

В треугольнике ABC длина AB равна 3, $\angle ACB= арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что $\angle ABC=\angle CML$ площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1. а) Найдите высоту треугольника KNC, опущенную из вершины C. б) Найдите площадь треугольника KNC.

Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке P. Точка О — середина АР. а) Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что $AM = 3$ $BM = 9$ $AN = 4$

На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону KL в точке P. На стороне KM взята точка R так, что отрезок LR пересекает окружность в точке Q, причем отрезки QP и ML параллельны, $KR=2RM$ и $ML=8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ а) Найдите отношение $LP:PK$ б) Найти MQ.

В прямоугольном треугольнике ABC из точки E, расположенной в середине катета BC, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB, $AE= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента EL$ $BC больше AC$ а) Найдите углы треугольника ABC. б) Найдите отношение $дробь: числитель: AE, знаменатель: CL конец дроби$

Дан треугольник ABC, в котором $AB=BC=5$ медиана $AD= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 97 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что $CE=5CF$ Через точку F проведена прямая l, параллельная BC. а) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC до прямой l. б) Найдите, в каком отношении прямая l делит площадь треугольника ABC.

Четырехугольник, один из углов которого равен $арккосинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка$ вписан в окружность радиуса $2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$ и описан около окружности радиуса 3. а) Найдите площадь четырехугольника. б) Найдите угол между диагоналями четырехугольника.

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Окружность с центром в точке O проходит через вершину A, касается стороны BC в точке K и пересекает сторону AC в точке M такой, что $AM:MC=4:1$ а) Найдите отношение $CK:KB$ б) Найдите длину стороны AB, если радиус окружности равен 2.

В окружности с центром в точке О радиуса 4 проведены хорда AB и диаметр AK, образующий с хордой угол $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби$ В точке B проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра AK в точке С. а) Докажите, что треугольник OBC — равнобедренный б) Найдите длину медианы AM треугольника ABC.

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC расположены точки E и D соответственно так, что AD — биссектриса треугольника ABC, DE — биссектриса треугольника ABD, $AE=ED= дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби$ $CD= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ а) Найдите AC. б) Найдите площадь треугольника ABC.

Продолжения медиан AM и BK треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и F соответственно, причем $AE:AM=2:1$ $BF:BK=3:2$ а) Докажите, что прямая AB параллельна прямой CE. б) Найти углы треугольника ABC.

В треугольнике ABC угол C тупой, а точка D выбрана на продолжении AB за точку B так, что $\angle ACD=135 градусов$ Точка D' симметрична точке D относительно прямой BC, точка D'' симметрична точке D’ относительно прямой AC и лежит на прямой BC. Известно, что $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на BC=CD''$ $AC=6$ а) Докажите, что треугольник CBD — равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника ABC.

В треугольнике ABC, где $AB=BC=3$ $\angle ABC= арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби$ проведена медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке M. Через M проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. а) Найдите PM. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник PQB.

Биссектриса AD и высота BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересекает сторону AB в точке K так, что $AK:KB=1:3$ а) Докажите, что AD делит площадь треугольника ABC в соотношении $1:2$ б) Найдите длину стороны BC, если радиус окружности $R= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$

Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC (угол С = 90°). Окружность радиуса $корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента$ проходит через точки А, С, D и пересекает сторону AB в точке E так, что $AE:AB=3:5$ Отрезки СЕ и AD пересекаются в точке О. а) Докажите, что $CO=OE$ б) Найдите площадь треугольника ABC.