Сюжетные задачи

Изобретатель-самоучка Акакий Шестеренкин взял у сурового ростовщика Порфирия Кровопийцева кредит на S рублей на срок n месяцев. Условия Порфирия безжалостны: — каждый месяц долг Акакия возрастает на 50% по сравнению с концом предыдущего месяца; — после этого Акакий приносит платеж (строго в целых рублях, сдачи Порфирий не дает); — долг должен погашаться дифференцированно: каждый месяц после платежа остаток долга должен быть на одну и ту же величину $дробь: числитель: S, знаменатель: n конец дроби$ меньше долга на конец предыдущего месяца. Известно, что ни в один из месяцев Акакию не пришлось делить рубли на копейки (все ежемесячные платежи — целые числа). Пусть M — общая сумма рублей, выплаченная за n месяцев. а) Могло ли оказаться так, что общая сумма выплат M ровно в 2 раза превысила размер займа S? б) Акакий подсчитал, что число M является простым. Возможно ли это при $n больше 1?$ в) Найдите все возможные значения суммы займа S, если известно, что срок кредита $n больше 2$ разность между первым и вторым платежом составила ровно 1 рубль, а общая сумма выплат M в точности равна квадрату некоторого простого числа.

Все 36 учеников 11-го класса два раза писали тест, который может быть оценён в любое целое количество баллов от 0 до 100 включительно. Нецелое число баллов за тест никто получить не может. В результате каждого из двух тестирований средний балл всего класса, средний балл всех учеников, получивших менее 39 баллов, и средний балл всех учеников, получивших не менее 39 баллов, оказались целыми числами. При первом тестировании ровно трое учеников получили за тест менее 39 баллов каждый. а) Найдите максимально возможный средний балл М всего класса по итогам первого тестирования. Какой при этом средний балл трёх учеников, показавших худшие результаты? б) Найдите минимально возможный средний балл всего класса по итогам первого тестирования. Какой при этом средний балл трёх учеников, показавших худшие результаты? в) По итогам второго тестирования средний балл всего класса оказался равен М + 1. Найдите при этом условии количество N учеников, набравших не менее 39 баллов. Какой при этом средний балл у этих N учеников?

В пакете 28 конфет, 24 из них в серебристой упаковке, а остальные — в золотистой. а) Конфеты случайным образом раскладывают в две коробки — по 14 штук в каждую. Какова вероятность того, что в каждой из коробок окажется по две конфеты в золотистой упаковке? б) Конфеты случайным образом раскладывают в две коробки — по 14 штук в каждую. Какова вероятность того, что в одной из коробок не будет ни одной конфеты в золотистой упаковке? в) К имеющимся конфетам добавили еще по равному количеству конфет в золотистой и серебристой упаковках. Потом две конфеты убрали, выбрав их наугад. Может ли вероятность того, что эти две конфеты в одинаковой упаковке, в целое число раз отличаться от вероятности того, что эти две конфеты в разных упаковках?

На лужайке по кругу расположен 2431 цветок, каждый из которых является вершиной правильного многоугольника. Пчела летает по кругу против часовой стрелки, за один раз перемещаясь на n цветов (первые попавшиеся (n – 1) цветов она пропускает, а на n-й садится). При этом $0 меньше n меньше 1000$ а) На скольких различных цветах может побывать пчела, если n = 2? б) Существует ли такое допустимое значение $n$ при котором пчела имеет возможность побывать ровно на 26 цветах? в) Найдите наименьшее возможное число различных цветов, на которых может побывать пчела, совершив 100 000 перелетов.

На полигоне расположены 300 узлов связи, некоторые из которых соединены проводами (провода прямые, один провод соединяет ровно 2 узла, между любыми двумя узлами проходит не более одного провода). Система узлов связна, то есть из любого узла можно передать сигнал в любой другой (возможно, через промежуточные узлы). Будем называть узел значимым, если его ликвидация приводит к тому, что система оставшихся узлов перестает быть связной. При ликвидации узла все провода, которые вели непосредственно к нему, перестают функционировать. а) Может ли в системе быть ровно 2 значимых узла? б) Может ли каждый значимый узел быть соединен только с незначимым? в) Какое наибольшее количество узлов могут быть значимыми?

Имеется m одинаковых шоколадок, которые можно разделить поровну на n школьников. Каждую шоколадку разрешается разломить не более одного раза (необязательно на равные части). а) Возможно ли требуемое при m = 18, n = 27? б) Возможно ли требуемое при m = 18, n = 28? в) При каких n требуемое возможно, если m = 14?

В магазине продаются мобильные телефоны, каждый из которых стоит целое число тысяч рублей (больше нуля, но менее 100 тыс.). Магазин установил скидки на несколько телефонов: если цена телефона составляет N тыс. руб., то он продаётся со скидкой N%. а) Могла ли средняя величина скидки составить ровно 1 тыс. руб.? б) Могла ли средняя величина скидки составить ровно 2 тыс. руб.? в) Известно, что средняя величина скидки составила ровно 3 тыс. руб. Какое наименьшее количество телефонов могло продаваться со скидкой?

Ваня играет в игру. В начале игры на доске написано два различных натуральных числа от 1 до 9999. За один ход игры Ваня должен решить квадратное уравнение $x в квадрате минус px плюс q=0$ где p и q — взятые в выбранном Ваней порядке два числа, написанные к началу этого хода на доске, и, если это уравнение имеет два различных натуральных корня, заменить два числа на доске на эти корни. Если же это уравнение не имеет двух различных натуральных корней, Ваня не может сделать ход и игра прекращается. а) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать не менее двух ходов? б) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать десять ходов? в) Какое наибольшее число ходов может сделать Ваня при этих условиях?

16 учеников пишут контрольную работу, составленную в нескольких вариантах. Их рабочие места расположены в виде квадрата 4 × 4. Будем называть пару учеников «подозрительной», если они сидят на соседних (по вертикали, горизонтали или диагонали) местах и пишут один и тот же вариант. (Ученик может входить в несколько «подозрительных» пар). а) Может ли не оказаться ни одной «подозрительной» пары, если имеется 4 варианта контрольной работы? б) Может ли не оказаться ни одной «подозрительной» пары, если имеется 3 варианта контрольной работы? в) Найдите наименьшее возможное количество «подозрительных» пар, если имеется 3 варианта контрольной работы.

В двух группах учится одинаковое количество студентов. Каждый студент изучает по крайней мере один язык: английский или французский. Известно, что 5 человек в первой и 5 во второй группе изучают оба языка. Количество изучающих французский в первой группе в 3 раза меньше, чем во второй. Количество изучающих английский во второй группе в 4 раза меньше, чем в первой. а) Может ли в каждой группе быть 33 студента? б) Может ли число студентов, изучающих только английский язык во второй группе быть равно 2? в) Каково минимально возможное количество студентов в каждой группе?

На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода — вырастет апельсин, а если два разных — вырастет банан. а) В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод? б) Можете ли вы определить, какой это будет плод? в) Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?

В некотором царстве было несколько (более двух) княжеств. Однажды некоторые из этих княжеств объявили себя царствами и разделились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале. Затем всё новые и новые княжества из числа прежних и вновь образующихся объявляли себя царствами и делились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале. а) Могло ли сразу после одного из делений общее число княжеств стать равным 102? б) Могло ли в какой‐то момент времени общее число княжеств стать равным 320, если известно, что сразу после одного из делений общее число княжеств было равно 162? в) Сколько княжеств было в самом начале, если сразу после какого‐то из делений общее число княжеств стало ровно в 38 раз больше первоначального?

У каждого учащегося в классе дома живет кошка или собака, а у некоторых, возможно, живет и кошка, собака. Известно, что мальчиков, имеющих собак, не более $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ от общего числа учащихся, имеющих собак, а мальчиков, имеющих кошек, не более $дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 11$ от общего числа учащихся, имеющих кошек. а) Может ли в классе быть 11 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в классе 21 учащийся? б) Какое наибольшее количество мальчиков может быть в классе, если дополнительно известно, что всего в классе 21 учащийся? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся без дополнительного условия пунктов а и б?

Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлена обыкновенная дробь А, числитель и знаменатель которой — пятизначные числа (каждая цифра использовалась ровно один раз). а) Какое наибольшее значение может принимать А? б) Может ли значение А оказаться целым числом? в) Найдите такое А, чтобы значение |A − 1| было наименьшим.

а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в два раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза. б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в три раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов. а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример. б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду? в) Сколько в роте может быть солдат?

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя). а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся? б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся? в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Подковывая лошадь, кузнец тратит на одну подкову 5 минут. а) Смогут ли два кузнеца за полчаса подковать трёх лошадей? б) Смогут ли четыре кузнеца за 15 минут подковать трёх лошадей? в) За какое наименьшее время 48 кузнецов смогут подковать 60 лошадей? (Известно, что лошадь не может стоять на двух ногах, поэтому два кузнеца не могут одновременно работать с одной лошадью).

В шахматном турнире участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них — из России. Каждый шахматист сыграл по одной партии с каждым. За победу в партии шахматист получал 1 очко, за ничью — 0,5 очка, в случае проигрыша — 0 очков. а) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 14 очков? б) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 100 очков? в) Известно, что первое место занял шахматист из России, а второе место — шахматист из другой страны. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты?

Четырехзначное число А содержит в своей десятичной записи попарно различные цифры, отличные от нуля. Число В записано теми же цифрами, но в обратном порядке. Известно, что А > B. а) Найдите наибольшее значение выражения А − В. б) Найдите наименьшее значение выражения А − В. в) Найдите числа А и В, для которых значение выражения $дробь: числитель: A, знаменатель: B конец дроби$ будет наименьшим.

Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить все жалование между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдает Черномору. Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если: а) жалование между отрядами Черномор распределяет как ему угодно; б) жалование между отрядами Черномор распределяет поровну?

Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдется три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдется а) 15 одноклассников; б) 16 одноклассников?

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на банках стали нечитаемыми, и только завхоз знает где что. Он может все это доказать (т. е. обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов на чашках. Докажите, что ему для этой цели а) достаточно четырех взвешиваний; б) недостаточно трех взвешиваний. Комментарий. Отметим еще раз, что завхоз должен обосновать, что в какой банке находится для всех 80 банок.

Банкомат обменивает монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит s дублонов, а дублон — 1/s пистолей, где s — не обязательно целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдает в обмен монеты другого вида, округляя результат до ближайшего целого числа (если ближайших чисел два, выбирается большее). а) Может ли так быть, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв полученные пистоли на дублоны, мы получим больше дублонов, чем было в начале? б) Если да, то может ли случится, что полученное число дублонов еще увеличится, если проделать с ними такую же операцию?

Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если любая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или по достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно а) делится на 12!; б) делится на 13!.

Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме последних трех его цифр. Докажите, что: а) число всех счастливых билетов четно; б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.

Требуется сделать набор гирек, каждая из которых весит целое число граммов, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 грамма до 55 граммов включительно даже в том случае, если некоторые гирьки потеряны (гирьки кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес — на другую). а) необходимо подобрать 10 гирек, из которых может быть потеряна любая одна; б) необходимо подобрать 12 гирек, из которых могут быть потеряны любые две. (В обоих случаях докажите, что найденный Вами набор гирек обладает требуемыми свойствами.)

а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину? б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?

В школьной олимпиаде по математике участвовало 100 человек, по физике — 50 человек, по информатике — 48 человек. Когда каждого из учеников спросили, в скольких олимпиадах он участвовал, ответ «по крайней мере в двух» дали в два раза меньше человек, чем ответ «не менее, чем в одной», а ответ «в трех» — втрое меньше человек, чем ответ «не менее, чем в одной». Сколько всего учеников приняло участие в этих олимпиадах?

Губернатор Титькин решил организовать автобусное движение между деревнями Верхнее и Нижнее Гадюкино. Автобусы‐экспрессы будут следовать из Нижнего Гадюкино в Верхнее без остановок круглосуточно с интервалом ровно 7 минут, останавливаться в конечном пункте на какое‐то время и отправляться обратно, тратя на дорогу в одну сторону ровно 25 минут. При этом на конечных остановках не должно находиться более одного автобуса одновременно. Сколько автобусов потребуется купить губернатору?