Сечения призм

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что AM = 5MA1, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB1. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1. б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 12.

В правильной треугольной призме сторона AB основания равна 2, точка M — середина ребра CC1. а) Докажите, что сечение A1MB — равнобедренный треугольник. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 6.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 на боковых ребрах AA1, BB1 и CC1 отмечены точки K, M и L соответственно так, что AK : KA1 = B1M : MB = 2 : 1, а плоскость KLM делит площадь боковой поверхности призмы пополам. а) Докажите, что L — середина CC1. б) Найдите площадь треугольника KLM, если все ребра призмы равны 3.

B правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA1 равно $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L. а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание сечение данной призмы плоскостью γ.

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1 : 3, а точка Q середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ. а) Докажите, что плоскость α делит ребро AC пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок A1C1, считая от точки A1, если известно, что AB = AA1, AB : BC = 2 : 7.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 на серединах рёбер A1C1 и BC отмечены точки M и N соответственно. а) Докажите, что плоскость AB1M делит отрезок A1N в отношении 2 : 3, считая от вершины A1. б) Найдите объем пирамиды AMNB1, если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 4.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M — середина ребра D1C1, а на ребрах AA1 и CC1 отмечены точки Q и N так, что $AQ : A_1 Q =1: 4$ и $CN : C_1 N =3: 2$ Через точки M и N проведена плоскость α параллельно прямой CQ. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину B. б) Найдите отношение, в котором плоскость $альфа$ делит объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 плоскость α проходит через вершины B1 и D, пересекает стороны AA1 и CC1 в точках M и K соответственно, а сечение призмы плоскостью α является ромбом. а) Докажите, что точка M — середина ребра AA1. б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна 3, а площадь сечения равна 6.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 9, боковое ребро равно 14. Точка K принадлежит ребру A1B1 и делит его в отношении 2 : 7, считая от вершины A1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и K, является равнобедренной трапецией. б) Найдите площадь этого сечения.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре AA1 отмечена точка M так, что A1M = 3. Через точки M и B1 проведена плоскость α, параллельная AC1. а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении 1 : 4, считая от вершины D1. б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M является серединой ребра BB1, а точка N — середина ребра A1C1. Плоскость α, параллельная прямым AM и B1N, проходит через середину отрезка B1M. a) Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка B1C1. б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1плоскостью α, если все ребра этой призмы равны 4.

Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем $B_1 K : K C_1 = 1 : 2$ а AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. a) Докажите, что N — середина BC. б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы ABCDA1B1C1D1 равен 12, а ее высота равна 2.

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD = 5 и BC = 4. Точка M делит ребро A1D1 в отношении $A_1M : MD_1 = 1 : 4$ точка K — середина DD1. a) Докажите, что плоскость MCK делит отрезок BB1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC, если $\angle A D C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ a $\angle M K C =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении $A P : P B = 1 : 3$ а точка Q — середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ. а) Докажите, что плоскость α делит ребро AC пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок A1C1, считая от точки A1, если известно, что $AB = AA_1$ и $AB : BC = 2 : 7$

Дана прямая призма ABCA1B1C1. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB = 3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B1C1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ. а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA1 = 5, AB = 12 и $косинус \angle ABC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 длина ребра основания равна 4, а длина бокового ребра равна 2. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α, проходящей через середину ребра AB перпендикулярно отрезку, соединяющему середины рёбер BC и A1B1, делит ребро AC в отношении 1 : 3, считая от вершины A. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 c ребрами $AB = BC = 6$ и AA1 = 12, точки M и K — середины AB и ВС соответственно. Точка N лежит на ребре BB1, причем BN = 6. Через точку D провели плоскость α параллельно плоскости KMN. а) Докажите, что плоскость α проходит через точки A1 и C1. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания AB равна 4, а боковое ребро AA1 равно $5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ На ребре DD1 отмечена точка M так, что $DM : MD_1=3: 2$ Плоскость α параллельна прямой A1F1 и проходит через точки M и E. а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α — равнобедренная трапеция. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием сечение призмы ABCDEFAB1C1D1E1F1 плоскостью α.

В правильной четырехугольной призме MNPQM1N1P1Q1 сторона основания равна 11, а боковое ребро — 15. На ребрах M1Q1, M1N1 и PQ взяты точки X, Y, Z соответственно так, что $Q_1X=N_1Y=QZ=5$ а) Пусть C — точка пересечения плоскости XYZ c ребром PN. Докажите, что XYCZ — прямоугольник. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью XYZ.

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре BB1 отмечена точка Q такая, что BQ : QB1 = 2 : 7. Плоскость α проходит через точки A и Q параллельно прямой BD. Эта плоскость пересекает ребро CC1 в точке M. а) Докажите, что C1M : CC1 = 5 : 9. б) Найдите площадь сечения, если $AB=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ AA1 = 18.

В правильной восьмиугольной призме ABCDEFGHA1B1C1D1E1F1G1H1 сторона основания AB равна $3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ а боковое ребро AA1 равно 6. Ha pe6pe CC1 отмечена точка M так, что $CM : MC_1 = 1 : 2$ Плоскость $альфа$ параллельна прямой H1E1 и проходит через точки M и A. а) Докажите, что сечение данной призмы плоскостью α — равнобедренная трапеция. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F1, а основанием — сечение данной призмы плоскостью α.

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой сторона основания AB = 8, боковое ребро $AA_1= 2 корень из 2$ Точка Q — точка пересечения диагоналей грани ABB1А1, точки M, N и K — середины ВС, СC1 и А1C1 cответственно. а) Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости. б) Найдите площадь сечения QMN.

Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Известно, что AB = BC. Точка K — середина ребра A1B1, а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM : MC = 1 : 3. а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC . б) Найдите расстояние между прямыми KM и A1C1, если AB = 10, AC = 8 и AA1 = 3.

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре AA1 отмечена точка K так, что AK : KA1 = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD1 в точке M. а) Докажите, что MD : MD1 = 2 : 1. б) Найдите площадь сечения, если AB = 4, AA1 = 6.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11. а) Докажите, что прямые CA1 и C1D1 перпендикулярны. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C, A1 и F1.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K делит боковое ребро AA1 в отношении AK : KA1 = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M. а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1. б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA1 = 6.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро $AA_1= корень из 6$ На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1. а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 11, а боковое ребро AA1 = 7. Точка K принадлежит ребру B1C1 и делит его в отношении 8 : 3, считая от вершины B1. а) Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K, есть равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь этого сечения.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1 = 7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D1. а) Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией. б) Найдите площадь этой трапеции.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. а) Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A1C1, и докажите, что это равнобокая трапеция. б) Найдите площадь этого сечения.