Сечения пирамид

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а высота пирамиды SO равна 6. На боковом ребре SC отмечена точка K так, что SK : KC = 1 : 2. Плоскость γ проходит через точки A и K параллельно диагонали основания BD. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью γ является четырехугольником, диагонали которого взаимно перпендикулярны. б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка C, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью γ.

Все ребра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 16. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SB и проходящая через точку O, пересекает рёбра SA и SD в точках K и L соответственно. Точка K делит ребро SA в отношении SK : KA = 3 : 5. а) Докажите, что точка L — середина ребра SD. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OKL пересекает грань SCD.

В правильном тетраэдре АВСD точка K лежит на ребре СВ, причем CK : KB = 1 : 2. Точка L лежит на ребре АВ, причем AL : LB = 1 : 3. Через точки А и K параллельно DL проведена секущая плоскость.. а) Докажите, что сечением является равнобедренный треугольник. б) Найдите площадь сечения, если ребра тетраэдра равны 1.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD через точку M на ребре AS параллельно плоскости SBD проведена плоскость α. Сечение пирамиды плоскостью α является прямоугольным треугольником. а) Докажите, что $\angle ASB = 60 градусов$ б) Найдите отношение SM : MA, если объем пирамиды SABCD равен 675, а объем пирамиды, отсекаемой плоскостью α от пирамиды SABCD, равен 100.

На ребрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что BL : LC = AM : MB = AN : ND = 1 : 2. а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точки L, M и N, делит ребро CD в отношении 2 : 1, считая от вершины C. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если AB = 6.

Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой AC. б) Найдите, в каком отношении точка K делит ребро SA, считая от точки S, если объём пирамиды равен $36 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента$

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB = 1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D. б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S, если площадь сечения равна $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ?$

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На ребре AC отмечена точка M, а на продолжении ребра BC за точку C — точка N так, что CM = CN = 2. а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью SNM является равнобедренным треугольником. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью SNM.

В правильном тетраэдре SNEG точки K и L — середины ребер NE и SG соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой KL и пересекает ребро EG в точке P. а) Докажите, что прямая KL перпендикулярна ребрам NE и SG. б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если известно, что EP = ⁠1, PG = ⁠5.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равна 6. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 60°. Через меньшую диагональ основания AC проведено сечение, которое пересекает высоту пирамиды в точке, удаленной от основания на расстояние $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ а) Докажите, что это сечение перпендикулярно противоположному к АС боковому ребру пирамиды SE. б) Найдите площадь сечения.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S на боковом ребре SE отмечена точка K такая, что $SK : KE = 2 : 3$ а) Докажите, что плоскость ACK делит ребра SF и SD пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость АСK делит объем пирамиды SABCDEF.

В пирамиде SABC ребра SA, SB и SC попарно перпендикулярны, $AB = BC = AC = 4 корень из 2$ а) Докажите, что SB = SC. б) На ребрах SA и SC взяты точки K и L соответственно, причем SK : KA = SL : LC = 3 : 4. Найдите площадь сечения BKL.

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины ребер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K. а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна ребрам AB и CD. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = ⁠1 и KC = ⁠5.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 10. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении $S N : N D = 2 : 3$ а) Докажите, что точка M — середина ребра SC. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.

Дана правильная пирамида SABC с основанием ABC, точки K и M — середины рёбер AB и SC соответственно. Точки N и L на сторонах BC и SA соответственно расположены таким образом, что LA = 4SL и прямые NL и MK пересекаются. а) Докажите, что прямые LK, MN и BS пересекаются в одной точке. б) Найдите отношение $C N : N B$

В правильной треугольной пирамиде SABC стороны основания ABC равны 12, а боковые ребра — 25. На ребрах AB, AC и SA отмечены точки F, E и K соответственно. Известно, что AE = AF = 10, AK = 15. а) Докажите, что объем пирамиды KAEF составляет $дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби$ от объема пирамиды SABC. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KEF.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны. Через середины ребер AB и CC1 проведена плоскость α. Тангенс угла наклона плоскости α к основанию равен $дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби$ а) Докажите, что плоскость α делит одно из ребер основания A1B1C1 пополам. б) Найдите отношение объемов, на которые плоскость α делит призму ABCA1B1C1.

Точки M и N соответственно — середины ребер AB и BC правильной четырехугольной пирамиды SABCD с вершиной S. Через точки M и N проведена плоскость α, которая пересекает ребра AS и CS в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PM и QN параллельны друг другу. а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру BS. б) Найдите площадь пятиугольника, который получается в сечении пирамиды SABCD плоскостью α, если известно, что AB = ⁠16 и BS = ⁠18.

На ребрах AB и BC треугольной пирамиды DABC отмечены точки M и N так, что $A M : M B = C N : N B = 2 : 1$ Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно. а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM делит пирамиду.

На боковом ребре FD правильной четырехугольной пирамиды FABCD отмечена точка M так, что FM : FD = 2 : 5. Точки P и Q — середины ребер AD и BC соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ есть равнобедренная трапеция. б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

На ребре AB правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причем $A Q : Q B = 1 : 2$ Точка P — середина ребра AS. а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды. б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 18.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD (точка S — вершина, BD — диагональ основания) образует с основанием угол 60°, сторона основания равна 4,8. Через среднюю линию треугольника ABD, не пересекающую BD и точку на высоте пирамиды, отстоящей от основания на $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби$ всей высоты пирамиды, проведена плоскость α. а) Докажите, что плоскость $альфа$ перпендикулярна ребру SC. б) Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M — точки пересечения α соответственно с ребрами SB, SD и SC.

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5 корень из 2$ а) Докажите, что BD = CD. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3. Найдите площадь сечения MNB.

Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 10 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах AB, AD и CD отмечены точки K, L и M соответственно, причём BK = 2, AL = 4, MD = 3. а) Докажите, что плоскость KLM перпендикулярна ребру CD. б) Найдите длину отрезка пересечения грани ABC и плоскости KLM.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Плоскость α пересекает ребра SA, SB, SC и SD в точках L, K, N и M соответственно, причем SK : KB = 3 : 1, а точки L и M — середины ребер SA и SD. а) Докажите, что четырехугольник KLMN является трапецией, длины оснований которой относятся как 2 : 3. б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостями ABC и α равен 30°, площадь сечения пирамиды плоскостью α равна $10 корень из 2$ а площадь основания пирамиды равна 32.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD. На ребрах SA, SB, SC и SD отмечены точки L, K, N и M соответственно так, что четырехугольник KLMN — трапеция с основаниями KL = 3 и MN = 2. Известно, что $SK : KB = 3 : 1$ а) Докажите, что плоскость KLM пересекает ребра SC и SD в их серединах. б) Найдите высоту SH пирамиды, если точка пересечения диагоналей основания пирамиды совпадает с точкой H, площадь основания равна 24, а площадь сечения KLMN = 10.

Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 : 3. а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 4.

В четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD длины всех боковых ребер равны длине ребра AD, а длина каждого из рёбер AB, BC и CD ровно в два раза меньше, чем длина ребра AD. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину ребра AD. б) Найдите, в каком отношении плоскость BMN делит высоту пирамиды, считая от вершины S, если точка M — середина ребра SD, а точка N делит ребро SC в отношении $S N: N C=3: 1$

Основанием правильной пирамиды PABCD является квадрат ABCD. Сечение пирамиды проходит через вершину B и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру. а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию рaвeн 60°. б) Найдите площадь сечения пирамиды, если AB = 30.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S каждое ребро равно $5 корень 4 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ Через середины сторон AD и DC и середину высоты пирамиды проведена плоскость α. а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру SD. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.