Сечения параллелепипедов

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD с углом 60° при вершине A. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2. а) Докажите, что точка M — середина ребра A1B1. б) Найдите высоту призмы, если ее объем равен 5 и известно, что точка K делит ребро B1C1 в отношении B1K : KC1 = 2 : 3.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AD = 2AA1, AB = 3AA1. Плоскость α проходит через вершины A и C1 и пересекает ребро CD в точке N такой, что CN = 2ND. а) Докажите, что плоскость α делит ребро A1B1 в отношении 2 : 1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, если AA1 = 1.

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки M и K — середины его ребер AB и BC соответственно. Плоскость α проходит через точку B параллельно прямым A1M и B1K. а) Докажите, что плоскость α проходит через точку D. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если его ребра равны 2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребрах AB и D1C1 отмечены точки M и N, такие, что D1N : NC1 = BM : MA = 1 : 3, точка O — центр грани BCC1B1. Через точки A1 и O проходит плоскость α параллельно прямой MN и составляет с плоскостями ABC, BB1C и DCC1 одинаковые углы. а) Докажите, что стороны параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 относятся как 3 : 4 : 5. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, если ребра параллелепипеда равны 3, 4, 5.

B основании параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит ромб с диагоналями $AC=2$ $BD = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ пересекающимися в точке О. Ребро AA1 наклонено к плоскости основания под углом 45°, а вершина A1 ортогонально проецируется в точку O. Через точку A1 перпендикулярно боковым ребрам проходит плоскость $альфа$ а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $альфа$ — квадрат. б) Найдите отношение, в котором плоскость $альфа$ делит объем призмы.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: AB = 4, BC = 2, AA1 = 2. Точка M — середина B1C1, точка L делит ребро A1B1 в отношении 1 : 3, считая от вершины B1. Плоскость LMC пересекает ребро AB в точке K. а) Докажите, что K — середина AB. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью KLM.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через точки B1 и D1 проходят плоскости α и β, каждая из которых делит диагональ AC1 на части, относящиеся друг к другу как 1 : 3. Также AB = 4, BC = 3 и высота параллелепипеда равна $дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби$ а) Докажите, что плоскости α и β перпендикулярны. б) Найдите отношение объемов частей, на которые плоскости α и β делят параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре AA1 отмечена точка M так, что AM = 3. Через точки M и B1 проведена плоскость α, параллельная AC1. а) Докажите, что $D_1 N : NA_1 = 1 : 2$ если N — точка пересечения плоскости α с ребром A1D1. б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 $A B=20 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ $A D=42$ и $A A_1=56$ На отрезках BC1 и BD отмечены точки M и N соответственно так, что прямые AM и A1N пересекаются и $BN : ND =1: 7$ а) Докажите, что угол между прямой D1M и плоскостью BCC1 равен 30°. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью AMN.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка Р — середина A1D1, точка Q делит отрезок AB1 в отношении 2 : 1, считая от вершины A, R — точка пересечения отрезков BC1 и B1C. а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR. б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ AC1 куба.

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что $A_1 E: E A=3: 2$ точка T — середина ребра B1C1. Длины рёбер AD и A A1 равны 6 и 10 соответственно. a) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является равнобедренной трапецией. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью ETD1, если $A B=2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 5, BC = 3 и AA1 = 4. а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1. б) Найдите отношение, в котором плоскость $альфа$ делит ребро A1B1.

На ребре BB1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка F так, что B1F : FB = 1 : 6. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что $AB=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ AD = 12, AA1 = 14. а) Докажите, что плоскость FTD1 делит ребро AA1 в отношении 2 : 5. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью FTD1.

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки K, L и M — середины ребер AB, B1C1 и DD1. а) Докажите, что сечение куба плоскостью KLM является правильным многоугольником. б) Найдите расстояния от точки A до плоскости KLM, если ребро куба равно 2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1 и пересекающая ребра BB1 и DD1 в точках F и E соответственно. а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм. б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 3, BC = 2, AA1 = 5.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка P лежит на ребре AA1, причём A1P : PA = 3 : 4, BB1 = 14, AD = 6. Плоскость DPB1 пересекает ребро CC1 в точке N, тангенс угла между прямой NP и плоскостью основания ABCD равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$ а) Докажите, что четырехугольник DPB1N — ромб. б) Найдите площадь сечения DPB1N.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка Р — середина А1D1, точка Q делит отрезок АВ1 в отношении 2 : 1, считая от вершины А, R — точка пересечения отрезков ВС1 и В1С. а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR. б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС1 куба.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через диагональ BD1 проведена плоскость α, параллельная прямой AC. а) Докажите, что прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания A1B1C1D1 параллельна прямой A1C1. б) Найдите угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB = 6, BC = 8, CC1 = 10.

Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно. а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке K. а) Докажите, что B1K : KC1 = 2 : 1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.

Точка E — середина ребра BB1 куба ABCDA1B1C1D1. а) Докажите, что сечение куба плоскостью D1AE есть равнобокая трапеция. б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 4.

Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. а) Докажите, что сечение куба плоскостью A1BE − это равнобокая трапеция. б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра $AB = 8$ $AD = 7$ и $AA_1 = 5$ Точка W принадлежит ребру DD1 и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D. а) Докажите, что любая плоскость, проходящая через вершины A1 и C, делит параллелепипед на две равновеликие фигуры. б) Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C, W и A1.

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 6EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что $AB = 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ AD = 12, AA1 = 14. а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что $AB = 6 корень из 2$ AD = 10, AA1 = 16. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 8, AD = 7, AA1 = 5. Точка W принадлежит ребру DD1 и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D. а) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C, W и A1 — параллелограмм. б) Найдите площадь этого сечения.