Разные задачи о многоугольниках

В правильном шестиугольнике ABCDEF через вершину A проведена прямая, которая пересекает отрезок CF в точке K и делит площадь шестиугольника ABCDEF в отношении 1 : 11. а) Докажите, что прямая AK делит диагональ FC в отношении 1 : 5. б) Прямая AK пересекает описанную около шестиугольника ABCDEF окружность в точке T. Найдите отношение, в котором прямая BT делит отрезок AC.

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF. Через точку B и середину отрезка OD проведена прямая, пересекающая сторону ED в точке T. а) Докажите, что прямая BT делит площадь шестиугольника в отношении 5 : 13. б) Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники BET и BCT с прямой BT, если сторона шестиугольника ABCDEF равна $корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1$

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM — параллелограмм. а) Докажите, что $BC = DE$ б) Найдите длину стороны AB, если известно, что $DE = 4$ $AD = 7$ $BE = 8$ и $AB больше BC$

Пятиугольник ABCDE — вписанный, точка M — пересечение диагоналей BE и AD. Известно, что BCDM — параллелограмм. а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны. б) Найдите AB, если известно, что $B E = 12$ $B C = 5$ $A D = 9$

В прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат KCMN так, что вершины K и M расположены на катетах AC и BC соответственно, a на гипотенузе AB — вершина N. Вершины квадрата TPQR расположены на сторонах треугольника ABC, причём вершины P и Q находятся на катетах AC и BC соответственно, а вершины R и T — на гипотенузе AB. а) Докажите, что точка C и центры квадратов KCMN и TPQR лежат на одной прямой. 6) Найдите длину стороны квадрата TPQR, если AC = 5 и BC = 12.

Внутри окружности с центром О построен правильный шестиугольник KOFPDL так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки В, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды AB и ВС, проходящие через вершины К и F шестиугольника соответственно. а) Докажите, что $AK: KB =3: 7$ б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 14.

Окружность, проходящая через вершину B треугольника ABC, касается стороны AC в точке D, такой, что BD — биссектриса угла B, и пересекает стороны AB и BC в точках E и F соответственно. а) Докажите, что AE : CF = AB : BC. б) Найдите отношение площадей треугольников AED и DFC, если известно, что AE : CF = 2 : 3.

В треугольнике АВС известно, что АВ = АС = 10, ВС = 12. На стороне АВ отметили точки М1 и М2 так, что AM1 AM2. Через точки М1 и М2 провели прямые, перпендикулярные стороне АВ и отсекающие от треугольника АВС пятиугольник, в который можно вписать окружность. а) Докажите, что AM1 : BM2 = 1 : 3. б) Найдите площадь данного пятиугольника.

Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O. а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность. б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины A опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и BC соответственно. а) Докажите, что $\angle FAH=\angle PAQ$ б) Найдите AH, если $AF=a,AP=b$ и $AQ=c$