Расстояние от точки до плоскости

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка K — середина ребра A1B1. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 6.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что AM = 3MA1, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB1A1. а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1. б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости α, если все ребра призмы равны 16.

На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что отрезок AB — диаметр основания. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен 45°. а) Докажите, что $синус в квадрате дробь: числитель: \angle ASC, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус в квадрате дробь: числитель: \angle CSB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости SBC, если радиус основания равен 5, а $косинус \angle ASC = 0,6$

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра B1C1. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α, если ребро куба равно 3.

Точка P — середина ребра AD куба ABCDA1B1C1D1. а) Докажите, что середина ребра DC принадлежит плоскости A1C1P. б) Найдите расстояние от середины ребра AB до плоскости A1C1P, если длина ребра куба равна 3.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через точку М пересечения медиан грани SBC перпендикулярно плоскости основания проходит плоскость α, делящая АВ в отношении 2 : 1, считая от вершины А. а) Докажите, что плоскость α проходит через точку С. б) Найдите расстояние от точки пересечения медиан грани ADS до плоскости α, если сторона основания пирамиды равна $2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$

Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС. Точка K — точка пересечения диагоналей грани АСС1А1, точка L делит ребро А1В1 так, что А1L : LB1 = 3 : 1, точка М делит ребро ВС в отношении СМ : МВ = 1 : 3. а) Докажите, что плоскость KML делит ребро ВВ1 в отношении 9 : 1, считая от точки В. б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости KML, если $AB = BC = 4 корень из 5$ АА1 = 20, АС = 16.

В пирамиде ABCD ребра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, так что АВ = ВС = АС = 1. На ребрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причем DM : MA = DN : NC = 2 : 5. а) Докажите, что пирамида АВСD правильная. б) Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания 16 на ребрах AC и A1C1 выбраны соответственно точки M и K так, что AM : MC = 11 : 5, A1K : KC1 = 3 : 5, точка N — середина BC. а) Докажите, что точка B1 лежит в плоскости KMN. б) Найдите высоту призмы, если известно, что она равна расстоянию от точки C1 до плоскости KMN.

Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD. Плоскость α пересекает ребра DD1 и AA1 в точках М и K соответственно так, что DM : MD1 = 4 : 1, AK : KA1 = 2 : 3, а ребро АВ — в середине L. а) Докажите, что плоскость α проходит через точку С. б) Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если сторона ромба равна $2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$ тангенс острого угла ромба равен $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ а высота призмы равна 10.

В пирамиде SABC боковые рёбра SA, SB и SC попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ а) Докажите, что пирамида SABC правильная. б) На рёбрах SA и SC отмечены точки К и М соответственно, причём $дробь: числитель: SK, знаменатель: KA конец дроби = дробь: числитель: SM, знаменатель: MC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ Найдите расстояние от вершины S пирамиды до плоскости BKM.

Дан тетраэдр SABC. На его ребре AC выбрана точка P так, что AP : PC = 3 : 5. Также на ребрах SA, SB и BC выбраны точки T, Q и R соответственно так, что PTQR — квадрат со стороной 3. а) Докажите, что BR : RC = 3 : 5. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости PTQ, если известно, что объем тетраэдра равен 32.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK : KC = 2 : 1, AB = 6 и $SO=3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$ а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что $AB = 3$ $A D = 4$ и $A A_1 = 6$ Через точки B1 и D параллельно прямой AC проведена плоскость, пересекающая ребро CC1 в точке K. а) Докажите, что K — середина CC1. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения.

Все грани призмы ABCDA1B1C1D1 — равные ромбы со стороной, равной 2. Плоские углы при вершине А равны 60° каждый. Через середину диагонали A1C проведена плоскость α, перпендикулярная этой диагонали. а) Докажите, что сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью α — квадрат. б) Найдите расстояние от точки А до плоскости α.

В правильной треугольной призме точка M лежит на высоте основания BD, причем $BM : MD = 3 : 1$ точка N лежит на диагонали CB1 боковой грани CC1B1B. Прямые AN и A1M пересекаются. а) Докажите, что $CN : NB_1 = 2 : 3$ б) Найдите расстояние от точки М до плоскости ACN, если сторона основания призмы равна 5, а высота равна 10.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра $D D_1=24$ $A D=8$ и $AB =7,5$ На ребрах AA1 и CD отмечены точки P и K соответственно, причем DK = 5, A1P = 6. Плоскость ВКР пересекает ребро DD1 в точке М. а) Докажите, что точка M является серединой ребра DD1. б) Найдите расстояние от точки D до плоскости BKP.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 длина бокового ребра AA1 равна 2. Шар с центром в точке О касается всех граней этой призмы. Точки M, N и K — середины ребер AB, A1B1 и CC1 соответственно, P — точка пересечения прямой NO с плоскостью основания АВС. а) Докажите, что прямые РК и МО параллельны. б) Найдите расстояние от точки О до плоскости АРК.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M середина SC, точка N делит ребро SB в отношении 3 : 2, считая от вершины S. а) Докажите, что точки A, E, M и N лежат в одной плоскости. б) Найдите расстояние от точки S до этой плоскости, если AB = 2, а высота пирамиды равна $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

В тетраэдре ABCD противоположные ребра попарно равны. Точки M, N и K — середины боковых ребер BD, AC и DC соответственно. Через точку К проведена секущая плоскость α, параллельная ребрам BD и AC. а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна секущей плоскости. б) Найдите расстояние от точки М до плоскости α, если $A C = B D = 14$ $B C=A D=13$ и $A B=C D=15$

В тетраэдре ABCD противоположные ребра попарно равны. Точки M, N и K середины боковых ребер BD, AC и DC соответственно. Через точку K проведена секущая плоскость α, параллельная ребрам BD и AC. а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна плоскости α. б) Найдите расстояние от точки M до плоскости α, если $AC = BD = 14$ $BC = AD = 13$ и $AB = CD = 15$

Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что $AK : KC =3: 7$ а KLMN — квадрат со стороной 2. а) Докажите, что $BM : MD =3: 7$ б) Найдите расстояние от точки C до КLМ, если известно, что объем пирамиды СKLM равен 50.

Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M, N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN — квадрат со стороной 2, AK : KC = 2 : 3. а) Докажите, что $BM : MD =2: 3$ б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KLМN, если известно, что объем тетраэдра ABCD равен 25.

Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что $A K: K C=3:7$ Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 3. а) Докажите, что ребра AB и CD взаимно перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости KLMN, если объем тетраэдра ABCD равен 100.

Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что $AK : KC =3: 7$ а KLMN — квадрат со стороной 3. а) Докажите, что $BM : MD =3: 7$ б) Найдите расстояние от точки C до КLМ, если известно, что объем тетраэдра ABCD равен 50.

На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что $CE : EC_1=1: 2$ а) Пусть точка F делит ребро BB1 в отношении 1 : 2, считая от вершины B1. Докажите, что угол между прямыми BE и AC1 равен углу AC1F. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости AC1F, если ребро куба равно 3.

В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 12, точки K и L — середины ребер AD и C1D1 соответственно, а точка F расположена на ребре BC так, что CF = 3BF. а) Докажите, что плоскость KLF делит диагональ AC основания ABCD в отношении 2 : 3, считая от точки A. б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости KLF.

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. а) Докажите, что плоскости AD1C и BB1D1 перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости AD1C, если AB = 5 и AA1 = 6.

Точка M — середина ребра AA1 треугольной призмы ABCA1B1C1, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B1 перпендикулярно прямой C1M. а) Докажите, что одна из диагоналей грани ACC1A1 равна одному из ребер этой грани. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если плоскость α делит ребро AC в отношении 1 : 3, считая от вершины A, AC = 10, AA1 = 12.

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны. б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если $B_1 N =6$