Расстояние между точками, от точки до прямой

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки P, K, L — середины ребер АА1, A1D1, B1C1 соответственно, точка Q — центр грани CC1D1D. Отрезок MN c концами на прямых AD и KL соответственно пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей. а) Докажите, что AM : MD = 5 : 1. б) Найдите длину отрезка MN, если сторона куба равна 3.

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным 6, на ребре AA1 взята точка M так, что $дробь: числитель: AM, знаменатель: MA_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ На ребре D1C1 взята точка N так, что $дробь: числитель: D_1N, знаменатель: NC_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ а) Докажите, что прямые MB1 и CN перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки M до прямой CN.

Точка O — центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF. Точки K, L, M, T — середины отрезков AF, SF, SD, MK соответственно. а) Докажите, что точка T лежит на отрезке LO. б) Найдите CT, если сторона основания пирамиды равна 4, а высота пирамиды равна 48.

В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN1, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок KM1 пересекает ось цилиндра, а точки K и M1 лежат на окружностях нижнего и верхнего основания соответственно. а) Докажите, что треугольник KNM1 прямоугольный. б) Найдите расстояние от точки N до прямой KM1, если KN = 9, $NN_1=20 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ N1M1 = 20.

Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно. а) Докажите, что прямая BQ перпендикулярна прямой B1P. б) Пусть H — проекция точки Q на прямую B1P. Найдите PH, если AB = 12.

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA1 и AB1 перпендикулярны. а) Докажите, что AA1 = AC. б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 6, BC = 3.

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ а угол ВАD равен 60°. а) Докажите, что прямые $AC_1$ и BD перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки А до прямой C1D1, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно $корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента$ высота — $корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента$ а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середину ребра AD и точки M и T — середины ребер CS и ВС соответственно, является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой MT.

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна $корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента$ высота равна $корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента$ а) Докажите, что сечение, проходящее через середину бокового ребра BD и точки М и Т (середины ребер АС и AВ соответственно), является прямоугольником. б) Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра равны 1. а) Докажите, что прямая $BF_1$ перпендикулярна прямой $F_1E_1$ б) Найдите расстояние от точки B до прямой E1F1.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4. а) Докажите, что плоскости $CD_1E_1$ и $AEE_1$ перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки С до прямой D1E1.

Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15. а) Докажите, что расстояние от вершины $D_1$ до прямой $A_1B$ больше, чем расстояние от вершины A1 до прямой BD1. б) Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1.

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны $5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ Тангенс угла между прямыми DM и AL равен $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ L — середина ребра MB. а) Докажите, что плоскости ACL и MDB перпендикулярны. б) Найдите высоту данной пирамиды.

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1. а) Докажите, что расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1 равно расстоянию середины отрезка BC1 до прямой, проходящей через середину отрезка $AD_1$ и вершину $B_1$ б) Найдите это расстояние.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O — центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды. а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS. б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, $AC=10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ Диагональ боковой грани B1C составляет угол 30° с плоскостью AA1B1. а) CE — высота треугольника $ABC$ Докажите, что угол $B_1EC$ прямой. б) Найдите высоту призмы.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 2, сторона основания равна 1. а) Докажите, что точки A1 и B равноудалены от плоскости AB1C1. б) Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, сторона основания равна 1, а боковое ребро равно $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ а) Докажите, что прямые AS и BD перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.

В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, отметили середину ребра CD — точку E. а) Докажите, что плоскость ABE перпендикулярна ребру CD. б) Найдите расстояние от точки A до прямой BE.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. а) Докажите, что прямые SE и AC перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром $2 корень из 2$ Точки М и Т — середины ребер AD и A1B1 соответственно. а) Докажите, что $A_1C_1\perp MT$ б) Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до прямой МТ.

Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15. а) Докажите, что объем пирамиды A1BDC1 втрое меньше объема параллелепипеда. б) Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 1, а ребро основания равно 2. а) Докажите, что объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$ вдвое больше объема пирамиды $ACBС_1$ б) Найдите расстояние от точки A1 до прямой BC1.

Дана правильная треугольной призма ABCA1B1C1 а) Докажите, что плоскость α, проходящая через прямую AB1 и центр грани ACC1A1, делит объем призмы в отношении 2 : 1. б) Пусть высота призмы равна 2, сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. а) Докажите, что точки D1, E и F1 лежат на сфере с центром в точке B. б) Найдите расстояние от точки B до прямой F1E1.

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно $корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента$ высота равна $корень из: начало аргумента: 31 конец аргумента$ а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середины ребер BD, AC и AD, является прямоугольником. б) Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой MT, где точки M и T — середины ребер AC и AD соответственно.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. а) Докажите, что $BD_1\perp AC$ б) Найдите расстояние от точки C до прямой BD1.