Практические задачи

Нужно перевезти по железной дороге 7 больших и 90 маленьких ящиков. Грузоподъёмность каждого вагона — 80 тонн. При этом каждый вагон может вместить не более 30 маленьких ящиков, каждый из которых весит 2 тонны. Большой ящик занимает место 7 маленьких ящиков и весит 27 тонн. Найдите минимальное число вагонов, необходимое для перевозки грузов.

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1800 тысяч рублей. Условия его возврата таковы — каждый январь 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — каждый январь 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; — в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите r, если известно, что общие суммы выплат за первые пять лет и за последние пять лет должны составить соответственно 1540 тысяч и 1420 тысяч рублей.

В банке берется кредит 12 600 000 рублей под 20% годовых. Платежи по кредиту вносятся ежегодно после начисления процентов и размер ежегодных платежей таков, что сумма долга каждый год, начиная со второго, уменьшается на величину, в два раза большую, чем в предыдущий год. Общая сумма платежей после полного погашения долга оказалась равна 25 440 000 рублей. На сколько лет взяли кредит?

Фёдор отложил 15 января 2023 года определённую сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 июля и 15 января каждого года для того, чтобы через некоторое время купить пакет акций. Первого января 2023 года пакет акций стоил 132 000 рублей. Первого января и первого июля каждого года пакет акций дорожает на 30%. Какую наименьшую сумму нужно Фёдору откладывать каждые полгода, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

Банк выдает кредиты под 10% годовых при условии погашения кредита ежегодными равными платежами. На какой срок (целое число лет) следует взять кредит, чтобы ежегодный платеж не превосходил 20% от суммы кредита, а полная сумма выплат превосходила сумму кредита не более чем на 50%?

В мае 2022 года планируется взять кредит на сумму 37,5 миллионов рублей на 25 лет (последняя выплата запланирована в 2047 году). Условия его возврата таковы: — пока долг больше половины, каждый январь он возрастает на 8% по сравнению с концом предыдущего года; — если долг не превышает половины исходной суммы, каждый январь он возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по апрель необходимо выплатить часть долга; — в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на май предыдущего года. Определите r, если общая сумма выплат должна равняться 74,16 млн руб.

Фирма собирается построить новый цех. Строительство нового цеха стоит 1060 миллионов рублей. Затраты на производство x тысяч единиц продукции в этом цехе равны $0,2x в квадрате плюс 2x плюс 10$ млн руб. в год. Если продукцию цеха продать по цене p тыс. руб. за единицу, то прибыль фирмы (в млн руб.) за один год составит $px минус левая круглая скобка 0,2x в квадрате плюс 2x плюс 10 правая круглая скобка$ Когда цех будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки цеха цена продукции p = 18 тыс. руб. за единицу, каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство цеха?

В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость и вес одного изделия составляют 400 тысяч рублей и 12 кг для первого типа, 500 тысяч рублей и 16 кг для второго типа, 600 тысяч рублей и 15 кг для третьего типа. Общий вес комплектующих равен 326 кг. Определить минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в контейнере комплектующих изделий.

На автомобиле стоят два одинаковых номерных знака, которые можно менять местами — один спереди, другой сзади. Знак, стоящий спереди, за 6 лет эксплуатации приходит в негодность и подлежит замене. Знак, стоящий сзади, приходит в негодность за 12 лет. Износ можно считать пропорциональным времени. Какой максимальный срок (в годах) может прослужить один комплект из двух номерных знаков, если своевременно поменять передний и задний номерной знак местами?

В конце 2019 года банк предоставил кредит на сумму 20 миллионов 630 тысяч рублей на следующих условиях: — вначале каждого квартала 2020 года долг возрастал на 12%; — вначале каждого квартала 2021 года долг возрастал на 25%; — в конце третьего и четвёртого квартала 2020 года выплачивались равные платежи; — в конце каждого квартала 2021 года выплачивались платежи, каждый из которых равен половине платежа за третий квартал 2020 года; — к концу 2021 года долг был выплачен полностью. Найдите величину ежеквартального платежа в 2021 году.

Боря положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Рома такую же сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Рома решил продлить срок вклада еще на два года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже x% годовых. В итоге через 4 года на счету у Ромы оказалась большая сумма, чем у Бори, причем эта разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки x.

Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году: 1) к сумме на счёте прибавляется 10% от находящейся на нём суммы; 2) к сумме на счёте прибавляется 5% от находящейся на нём суммы и 50 тысяч рублей. Известно, что по прошествии 4 лет Иван максимально может получить 417 967 рублей прибыли, если будет оптимально выбирать схему начисления прибыли. Сколько рублей положил на счёт Иван?

В Доме правительства 18 этажей. На каждом этаже, кроме первого, находится министерство. Однажды утром все 17 министров зашли в лифт, который может сделать только один рейс, а дальше каждый министр должен идти до своего этажа пешком по лестнице. Известно, что каждый министр с неудовольствием опускается на один этаж вниз по лестнице и с двойным неудовольствием поднимается на один этаж вверх по лестнице. На каком этаже им следует остановить лифт, чтобы сумма всех неудовольствий была наименьшей?

В первый рабочий день месяца с заводского конвейера сошло некоторое число тракторов. Каждый следующий рабочий день их выпуск возрастал на 3 трактора ежедневно, и месячный план — 55 тракторов — был выполнен досрочно, причем за целое число дней. После этого ежедневно выпускалось 11 тракторов. Определите, сколько тракторов было выпущено в первый рабочий день, и на сколько процентов был перевыполнен месячный план, если известно, что в месяце было 26 рабочих дней, а плановая работа длилась не менее 3 и не более 10 дней.

В офисном строении 8 этажей, на каждом из которых, кроме первого, находится кабинет начальника отдела. Управляющая жилищная компания объявила, что в день профилактического ремонта лифта он сделает всего один подъем сразу всех начальников отделов на один, указанный ими, этаж. После подъема начальники будут вынуждены идти в свои кабинеты по лестнице. В качестве компенсации за причиненные неудобства за каждый необходимый подъем на очередной этаж по лестнице каждому начальнику будет начислено 200 рублей. За каждый аналогичный спуск — 100 рублей. Этаж необходимо выбрать так, чтобы общая сумма компенсаций была минимальной. Определите в рублях эту сумму.

В феврале планируется взять кредит в банке в размере 3,6 млн рублей сроком на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2‐го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15‐го числа каждый месяц долг должен уменьшиться на одну и ту же величину. Известно, что с 5 по 10 месяц включительно, нужно выплатить банку 1,089 млн рублей. Найдите процент банка r. Сколько будет выплачено банку за первые 12 месяцев?

15 декабря планируется взять кредит в банке на S тысяч рублей на 52 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2‐го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15‐го числа первый и второй месяцы долг должен уменьшиться на 600 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на a тысяч рублей. Найдите S, если всего банку будет выплачено 4405,5 тысячи рублей.

15 декабря планируется взять кредит в банке на 480 тысяч рублей на 27 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2‐го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15‐го числа первые два месяца и последний месяц долг должен уменьшиться на a тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на b тысяч рублей. Найдите а, если всего банку будет выплачено 656,4 тысяч рублей.

В декабре 2020 года планируется взять кредит в банке в размере S миллионоа рублей сроком на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1‐го числа каждого месяца, начиная с января 2021 года, долг возрастает на 0,8% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2‐го по 14 число каждого месяца, начиная с января 2021 года, необходимо выплатить часть долга; — 15‐го числа каждого месяца, начиная с января 2021 года, долг должен уменьшиться на одну и ту же величину. Известно, что в период с 02.12.2021 по 14.08.2022 включительно нужно выплатить банку 1,752 млн рублей. Найдите S. Какая сумма будет выплачена банку в период по 14.12.2021 включительно?

15 декабря планируется взять кредит в банке на 61 месяц. Условия его возврата таковы: — 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2‐го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15‐го числа первого месяца долг должен уменьшиться на 900 тысяч рублей, все следующие месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на 30 тысяч рублей. Найдите r, если переплата по кредиту составит 1152 тысяч рублей?

15 декабря планируется взять кредит в банке на 2400 тысяч рублей на (n + 2) месяца. Условии его возврата таковы: — 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2,5% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15‐го числа первого и последнего месяца долг должен уменьшиться на 400 тысяч рублей, а во все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на a тысяч рублей. Найдите n, если всего банку будет выплачено 3690 тысяч рублей.

Клиент положил в банк некоторую сумму денег. Через год, после начисления процентов, он добавил на свой счет сумму, составляющую 0,9 исходной, в результате чего остаток на счете стал равен 3,4 млн рублей. А еще через год, после начисления процентов, остаток на его счете увеличился в 2,2 раза по сравнению с исходной суммой. Какую сумму клиент положил в банк первоначально, если в конце каждого года банк начислял один и тот же процент годовых?

Фирма по производству мебели выпускает две модели спальных гарнитуров — А и В. Их производство ограничено наличием сырья (качественных досок) и временем машинной обработки. Для изготовления гарнитура модели А требуется 24 м2 досок и 5 часов машинного времени, а для модели В — 40 м2 досок и 11 часов машинного времени. Фирма может получить от поставщика до 600 м2 досок в неделю. Возможное время работы машин, имеющихся в распоряжении фирмы, составляет 140 часов в неделю. Изготовление гарнитура модели А приносит фирме 5000 рублей дохода, а модели В — 9000 рублей дохода. Сколько гарнитуров каждой модели следует выпускать фирме в неделю, чтобы прибыль фирмы была как можно больше?

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1,6 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж в 2 раза больше наименьшего?

Клиент планирует положить определенную сумму денег в банки под некоторые проценты. Треть этой суммы он помещает на вклад А под r% процентов годовых, а оставшуюся часть денег на вклад Б под q% годовых (проценты начисляются в конце года и добавляются к сумме вклада). Через год сумма вкладов с учетом процентов увеличилась на $дробь: числитель: 2, знаменатель: 15 конец дроби$ от первоначального значения, а через два года стала составлять 463 200 рублей. Если бы клиент изначально положил бы $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ этой суммы на вклад Б, а оставшиеся средства — на вклад А, то через год сумма вклад с учетом добавленных процентов) увеличилась бы на $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби$ от первоначальной. Чему в этом случае была бы равна сумма вкладов через два года?

Химический комбинат получил заказ на изготовление этилового спирта, соляной кислоты и дистиллированной воды. Для готовой продукции потребовалась 21 железнодорожная цистерна. При перекачивании были использованы три специализированных насоса: сначала первый насос наполнил четыре цистерны этиловым спиртом, затем второй насос наполнил шестнадцать цистерн соляной кислотой и в завершение третий насос наполнил одну цистерну дистиллированной водой. Найдите минимально возможное время, затраченное на перекачивание всех продукции, если известно, что суммарная производительность всех насосов равна семи цистернам в сутки.

Первый велосипедист въезжает в парк раньше второго и проезжает 5 км. После этого в парк въезжает второй и едет со скоростью на 4 км/ч больше, чем первый. Через некоторое время второй велосипедист догоняет первого. В тот же момент они поворачивают обратно и со скоростью 16 км/ч одновременно выезжают из парка, заканчивая поездку. При какой скорости первого велосипедиста время его поездки по парку будет наименьшим?

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 600 000 рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: − 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; − со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; − 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца. На сколько рублей увеличится сумма выплат, если взять кредит с теми же условиями на 30 месяцев?

Для заполнения бассейна используют 2 насоса. Известно, что если включить первый на 1 ч, а затем только второй на 4 ч, бассейн будет заполнен не меньше чем на четверть и не более чем на 40%. Если включить первый на 3 ч, затем только второй на 2 ч, бассейн будет наполнен не меньше чем на 30% и не больше чем на половину. На сколько процентов максимально может наполнить бассейн один первый насос за 1 час?

Группа отдыхающих в течение 2 часов 40 минут каталась на моторной лодке по реке с постоянной (относительно воды) скоростью попеременно то по течению, то против: в каждую сторону — не меньше, чем по 1 часу. В итоге лодка прошла путь в 40 км относительно берега и, отчалив от пристани А, причалила к пристани В на расстоянии 10 км от А. Найдите наибольшую возможную в этих условиях скорость течения реки.