Окружности и системы окружностей

Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, пересекает окружность ω1 в точке A, а окружность ω2 — в точке B. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AB, пересекает ω1 и ω2 в точках С и D соответственно. а) Пусть H1 и H2 — ортоцентры треугольников AQC и BQD соответственно. Докажите, что H1H2 = 2O1O2. б) Найдите площадь четырёхугольника ACDB, если известно, что радиусы окружностей равны 13 и 15, расстояние между центрами окружностей равно 14, а прямая АВ параллельна линии центров.

В окружности радиусом R проведены хорды KL и MN, перпендикулярные друг другу и пересекающиеся в точке F. а) Докажите, что при этих условиях выполняется равенство $KN в квадрате плюс ML в квадрате = 4R в квадрате$ б) Найдите радиус окружности R, если KF = 3, FM = 8, FN = 6.

В окружности с центром О проведен диаметр MN, отмечены точка K — середина дуги МN, точка А — середина хорды МK и точка В — середина дуги KN. а) Докажите, что $AB : MN = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента : корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента$ б) На отрезке АВ как на стороне построен прямоугольник АВСD так, что его вершина С лежит на окружности. Найдите площадь прямоугольника АВСD, если радиус окружности равен $3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$

На окружности отмечены точки A, B, C и D так, что AB = BD, $\angle ABC = 90 градусов$ а) Докажите, что DM = BC, если BM — диаметр окружности. б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если радиус окружности равен 4, а точка пересечения диагоналей AC и BD делит AC в отношении 1 : 3, считая от вершины C.

Через точку С на окружности с центром О проведена касательная, пересекающая продолжение диаметра AD за точку D в точке S. Прямая, проходящая через середину хорды CD и точку S пересекает окружность в точках В и G $левая круглая скобка GB меньше BS правая круглая скобка$ а отрезки АС, СО и CD — в точках Т, Е и F соответственно. Прямая BD пересекает отрезки АС и СО точках K и Р соответственно, причем BC параллельна AD. а) Докажите, что EK : AD = 1 : 6. б) Найдите площадь четырехугольника KТЕР, если радиус окружности равен 4.

Точка K лежит на отрезке MN. Прямая, проходящая через точку M, касается окружности с диаметром KN в точке A и пересекает окружность с диаметром МK в точках М и В. Продолжение отрезка АK пересекает окружность с диаметром МK в точке C. а) Докажите, что прямые CM и AN параллельны. б) Найдите площадь треугольника CKN, если BM = 6 и AB = 30.

Две окружности с центрами O1 и O2 равных радиусов касаются внешним образом и вписаны в острые углы прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. Известно, что одна из окружностей касается гипотенузы AB в середине. а) Докажите, что один из углов треугольника ABC равен 30°. б) Окружность с центром O1 касается катета AC в точке M, окружность с центром O2 касается катета BC в точке N. Найдите площадь многоугольника MCNO2O1, если радиус окружностей равен 1.

К двум окружностям радиусов 2 и 1 проведены внешние касательные AB и CD, причем точки A и C лежат на меньшей окружности, а точки B и D — на большей. Прямая AD пересекает меньшую окружность в точке N, а большую — в точке M. а) Докажите, что AN = DM. б) Найдите площадь треугольника ABD, если дополнительно известно, что точки M и N делят отрезок AD на три равные части.

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. а) Докажите, что $\angle A N B = 2 \angle A B C$ б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что AC = ⁠14 и AB = ⁠36.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что $A B=C D=3$ и $B C=D E=4$ а) Докажите, что $AC = CE$ б) Найдите длину диагонали BE, если $AD = 6$

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку P проведена касательная к первой из этих окружностей, пересекающая вторую окружность в точке L, а через точку Q проведена касательная ко второй окружности, пересекающая первую окружность в точке M. а) Докажите, что прямые PM и QL параллельны. б) Найдите наименьшее возможное значение суммы длин отрезков PM и QL, если PQ = ⁠1.

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны. б) Найдите BC, если радиусы окружностей равны $корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$ и 3.

Радиусы двух окружностей с центрами O1 и O2, касающихся внешним образом в точке A, равны 6 и 3 соответственно. Их общая секущая, проведенная через точку A, пересекает первую окружность в точке В, вторую — в точке С. а) Докажите, что $A B : B C = A O_1 : O_1 O_2$ б) Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В ко второй окружности, если AB = 4.

Дан угол величиной 120° с вершиной С. Вне угла на продолжении его биссектрисы взята точка О так, что $O C = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ С центром в точке О построена окружность радиуса 3, пересекающая стороны угла в точках А и В. а) Докажите, что $O C = B C = C A$ б) Найдите площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной между ними.

Окружности с центрами O1 и O2 разных радиусов пересекаются в точках А и В. Хорда АС большей окружности пересекает меньшую окружность в точке М и делится этой точкой пополам. а) Докажите, что проекция отрезка O1O2 на прямую AC в четыре раза меньше AC. б) Найдите O1O2, если известно, что радиусы окружностей равны 10 и 15, а АС = 24.

Две касательные к окружности, СА и СВ, пересекаются в точке С (А и В — точки касания). Вторая окружность проходит через точку С, касается прямой АB в точке В и пересекает первую окружность в точке М, отличной от В. а) Докажите, что прямая АМ делит отрезок ВС пополам. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВСМ, если BC = 10, а синусы углов ВАМ и АВМ равны соответственно 0,6 и $дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби$

Окружности ω1 и ω2 радиусов 4 и 1 соответственно касаются внешним образом в точке А. Через точку В, лежащую на окружности ω1, проведена прямая, касающаяся окружности ω2 в точке М. а) Докажите, что отношение отрезков прямой АВ, отсекаемых окружностями, равно отношению их радиусов. б) Найдите ВМ, если известно, что AB = 2.

Две окружности с центрами О1 и О2 соответственно касаются внешним образом. Из точки О1 проведена касательная О1К ко второй окружности (К — точка касания), а из точки О2 проведена касательная О2L к первой окружности (L — точка касания), точки К и L лежат по разные стороны от прямой О1О2. а) Докажите, что $\angle O_1KL = \angle O_1 O_2 L$ б) Найдите радиус меньшей окружности, если дополнительно известно, что он в 4 раза меньше радиуса большей окружности, а площадь четырехугольника О1КО2L равна $54 плюс 9 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента$

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной D в точке E и пересекает вторую сторону в точках A и B (точка A лежит между B и D). В окружности проведён диаметр AC. а) Докажите, что отрезок BC вдвое больше отрезка DE. б) Найдите расстояние от точки E до прямой AC, если AD = 4 и AB = 5.

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M. B треугольники AMB, BMC, CMD и AMD вписаны окружности с центрами O1, O2, O3 и O4 соответственно. а) Докажите, что площадь четырёхугольника O1O2O3O4 равна $дробь: числитель: O_1 O_3 умножить на O_2 O_4, знаменатель: 2 конец дроби$ б) Пусть прямая O2O4 пересекает стороны BC и AD в точках P и Q соответственно. Найдите отношение AQ : QD, если известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность, а отношение площадей треугольников СМР и ВМР равно 3 : 2.

Вписанная в треугольник ABC окружность с центром в точке О касается стороны BC в точке К. Окружность с центром в точке O1 касается стороны BC в точке L, а также касается продолжения сторон AC и AB. а) Докажите, что $BL = CK$ б) Найдите расстояние $OO_1$ если известно, что AC = 7, BC = 24 и AB = 25.

В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Длина радиуса первой окружности равна 1, а площадь круга, ограниченного четвертой окружностью, равна 64π. а) Докажите, что длины радиусов окружностей образуют геометрическую прогрессию. б) Найдите сумму длин второй и третьей окружностей.

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку P проведена прямая, пересекающая вторично первую из окружностей в точке A, а вторую — в точке B. Через точку Q также проведена прямая, пересекающая вторично первую окружность в точке C, а вторую — в точке D. а) Докажите, что прямые AC и BD параллельны. б) Найдите наибольшее возможное значение суммы длин отрезков AB и CD, если расстояние между центрами данных окружностей равно 1.

Точки A1, B1, C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников A1CB1, A1BC1, и B1AC1, пересекаются в одной точке. б) Известно, что АВ = AC = 13 и BC = 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1, и В1AC1.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = AE. Отрезок BE пересекает AC в точке M, а отрезок AD в точке N. а) Докажите, что точки C, D, M, N лежат на одной окружности. б) Точка O — центр описанной вокруг треугольника CMD окружности. Найдите радиус этой окружности, если AO = 12, AB = 4.

Из вершины тупого угла C треугольника ABC проведена высота CH. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно, а прямая CH — эту окружность в точке D. а) Докажите, что угол MDN равен сумме углов A и B треугольника ABC. б) Найдите отношение MN к AB, если известно, что $CM:MA=2:25$ и $CN:NB=2:1$

В прямоугольнике ABCD, в котором $AD=3 плюс дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ a AB = 6, расположены две окружности. Окружность с центром в точке K, радиус которой равен 2, касается сторон AB и АD. Окружность с центром в точке L, радиус которой равен 1, касается стороны CD и первой окружности. а) Докажите, что точки A, K и L лежат на одной прямой. б) Найдите площадь треугольника CLM, если M — основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую, проходящую через точки K и L.

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC. В треугольники ABD и ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. а) Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC. б) Найдите длину отрезка AK, если периметр треугольника ABC равен 30, а длина стороны BC равна 10.

Окружность ω1 касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A и C соответственно, M — точка ее касания с прямой BC. Окружность ω2 касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно, N — точка ее касания с прямой BC. а) Докажите, что СМ = BN. б) Найдите расстояние между центрами окружностей ω1 и ω2, если $AC= корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента$ $AB= корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента$ BC = 5.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр СС1 перпендикулярен стороне AD и пересекает ее в точке K, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне АВ и пересекает ее в точке L. а) Пусть АА1 тоже диаметр окружности. Докажите, что углы DLK и A1D1D равны. б) Найдите углы четырехугольника ABCD, если $\angle ADB = 3 \angle BDC$