Окружности и четырехугольники, разные задачи

Вершины A, B и C параллелограмма ABCD лежат на окружности, вершина D не лежит на этой окружности. Ее хорды BK и BM перпендикулярны прямым AD и CD соответственно. а) Докажите, что четырехугольник ACMK является прямоугольником. б) Найдите площадь четырехугольника ACMK, если радиус окружности равен 2, а $\angle BAD = 75 градусов$

Точки M и N — середины сторон соответственно AB и AC треугольника ABC. Прямая, проходящая через вершину A, пересекает отрезки MN и BC в точках K и L соответственно, причем в четырехугольник BMKL можно вписать окружность. а) Докажите, что периметр треугольника AMK вдвое больше отрезка BL. б) Найдите AL, если AB = 12, BC = 16, AC = 20.

В квадрате KLMN точка D — середина стороны KL, точка E — середина отрезка DM. На стороне KN отмечена точка B так, что KB : BN = 1 : 3. а) Докажите, что $\angle DBE = 45 градусов$ б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BDE и BMD, если площадь четырехугольника BEMN равна 17.

В квадрате ABCD построена окружность с центром в точке А, радиусом, равным стороне квадрата, и окружность с центром в точке С, радиусом, равным половине стороны квадрата. Окружности пересекаются в точках М и N. а) Докажите, что прямая MN делит сторону ВС в отношении 3 : 5, считая от точки В. б) Найдите площадь четырёхугольника AMCN, если площадь квадрата равна 8.

Из точки М вне окружности проведены касательные и секущая, причем точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Угол между касательными равен 60°. а) Докажите, что диагональ трапеции равна отрезку касательной от точки М до точки касания. б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему.

Окружность с центром О, расположенном внутри прямоугольной трапеции ABCD, проходит через вершины В и С большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны AD в точке K. При этом отрезок АВ пересекает окружность в точке Т. а) Докажите, что $\angle KCB = \angle AKB$ б) Найдите AB, если перпендикуляр KH к стороне BC равен 10, а DC = 25.

Окружность проходит через вершины C и D ромба ABCD и касается стороны AB, а также пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно, причем BN : CN = 4 : 5. а) Докажите, что AM : MD = 1 : 8. б) Найдите CM, если сторона ромба равна 9.

В прямоугольнике ABCD точка K делит сторону АВ в отношении АK : KВ = 2 : 1, DK пересекает АС в точке Р. На стороне AD отмечена точка Т так, что РТ касается окружности, вписанной в треугольник ACD, а около четырёхугольника PCDT можно описать окружность. а) Докажите, что AT : TD = 5 : 3 б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник PCDT, если АВ = 3.

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K. а) Докажите, что AE = AK. б) Найдите отношение KE : BD, если $\angle BAD = 60 градусов$

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD $левая круглая скобка BC меньше AD правая круглая скобка$ окружности, вписанные в треугольники АВС и ACD, делят диагональ АС в отношении 2 : 1 : 1, считая от точки А. а) Докажите, что одно из оснований трапеции равно боковой стороне. б) Найдите отношение, в котором диагональ АС делит площадь трапеции.

В прямоугольной трапеции ABCD к большей боковой стороне ВС построен перпендикуляр, пересекающий ВС и AD в точках F и N соответственно. Окружность, описанная около треугольника ABN проходит через T — точку пересечения DF и NC, а окружность, описанная около треугольника DNC проходит через Р — точку пересечения АТ и BN. Угол NAT равен 18°. а) Докажите, что PF параллельна AB. б) Найдите PT, если $AB = корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 1$

Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведен перпендикуляр CH. а) Докажите, что треугольники CBK и CHP подобны. б) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH = 7.

Два квадрата ABCD и AMNK с периметрами соответственно 20 и 24 располагают в круге так, что точки C, D, M, N лежат на окружности, A — общая, B и K внутри круга, угол ВАK — острый. а) Докажите, что угол BAK равен $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ б) Найдите площадь круга.

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке L, а окружность с диаметром AC пересекает основание AD в точке K. Отрезки AL и CK пересекаются в точке M. а) Докажите, что точка M лежит на диагонали BD трапеции ABCD. б) Найдите расстояние от точки M до боковой стороны AB, если BC = 4, AD = 28.

Диагональ трапеции делит ее на два подобных прямоугольных треугольника, в каждый из которых вписана окружность. а) Докажите, что произведение оснований трапеции равно квадрату этой диагонали. б) Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в эти треугольники, если основания трапеции равны 9 и 25.

В окружности с центром O построен квадрат KOFD так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки B, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды АВ и ВC, проходящие через вершины K и F квадрата соответственно. а) Докажите, что $AK : KB = 1 : 5$ б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если радиус окружности равен 5.

B прямоугольнике ABCD на стороне AB как на диаметре построена окружность C центром О. Отрезок OD пересекает окружность в точке М. Известно, что $дробь: числитель: D M, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ а) Докажите, что стороны прямоугольника относятся как 5 : 2. б) Найдите MC, если известно, что $A M= корень из: начало аргумента: 2 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби конец аргумента$

В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О. а) Докажите, что около четырехугольника АBCD можно описать окружность. б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник ABCD, если AC = 10 и BD = 26.

В равнобедренной трапеции ABCD угол BCD — тупой. Через точку B проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая прямую AD в точке E. На продолжении BE за точку E отмечена точка F такая, что DE = DF. а) Докажите, что точки A, F, C и D лежат на одной окружности. б) Найдите расстояние от точки C до прямой AF, если BD = 10 и $косинус \angle ADC=0,6$

Сторона AB квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной CK, проведенной из вершины C к этой окружности, равна 2. а) Докажите, что длина отрезка, соединяющего центр квадрата и центр окружности равна длине отрезка CK. б) Найдите диаметр окружности.

В прямоугольнике ABCD, в котором $AD=3 плюс дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ а AB = 6, расположены две окружности. Окружность с центром в точке K, радиус которой равен 2, касается сторон AB и AD. Окружность с центром в точке L, радиус которой равен 1, касается стороны CD и первой окружности. а) Докажите, что точки A, K, L лежат на одной прямой. б) Найдите площадь треугольника CLM, если M — основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую, проходящую через точки K и L.

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O. а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P. а) Докажите, что $OP=AP$ б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если $\angle ABC=120 градусов$ а радиус описанной окружности равен 18.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно. а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 15, BC = 1, CD = 17, AD = 9.

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков). а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. б) Найдите длину отрезка QN, если BC = 4,5, AD = 21,5, AB = 26, CD = 25, а угол CPD — прямой.

Дана трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Около треугольника KLN описана окружность, прямые LM и MN — касательные к этой окружности. а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны. б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 3, а $\angle$ LMN = 120°.

Окружность проходит через вершины $A,B$ и C параллелограмма и пересекает продолжение стороны AD в точке E, а продолжение стороны CD в точке K. а) Докажите, что отрезки BE и BK равны. б) Найдите отношение KE к AC, если $\angle ABC=135 градусов$

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D. а) Докажите, что AE = AK. б) Найдите AD, если CE = 10 , DK = 9 и $косинус \angle BAD=0,2$

Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды. а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке. б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 11, KL = 10, LB = 4.

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD и пересекает BC и CD в точках E и K соответственно. а) Докажите, что отрезки AE и AK равны. б) Найдите AD, если CE = 48, DK = 20, $косинус \angleBAD\nbsp=\nbsp0,4$