Окружности

Две окружности пересекаются в точках М и N. На одной из окружностей отмечены точки А и С, а на второй — В и D так, что ABCD — параллелограмм. Диагонали параллелограмма равны 2 и 6, а расстояние от их точки пересечения до прямой MN равно 2. а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно 2. б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если радиусы окружностей равны 5 и 4.

Три точки А, В и С разбивают окружность на три дуги. Каждая из дуг разбивается на три равные части так, что на окружности последовательно стоят точки А, А1, А2, В, В1, В2, С, С1, С2. А) Докажите, что точки пересечения прямых А1В2, В1С2 и С1А2 образуют равносторонний треугольник. Б) Найдите стороны этого треугольника, если АС = 1, ВС = 2, $AB= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 5. а) Найдите сторону ромба. б) Найдите часть площади ромба, находящуюся внутри треугольника.

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке G. Первая окружность с центром в точке Q касается двух параллельных прямых a и b. Вторая — имеет центр в точке О, касается прямой a, а общая касательная окружностей, проходящая через точку G, пересекает прямую a в точке D, а прямую b — в точке А. Прямая АО перпендикулярна прямым a и b. а) Докажите, что радиусы окружностей относятся как 1 : 2. б) Найдите площадь четырехугольника AODQ, если радиус большей окружности равен 8.

Окружности, построенные на сторонах AB и CD параллелограмма ABCD, как на диаметрах, касаются в точке M. а) Докажите, что ABCD — ромб. б) Пусть P и Q — точки пересечения продолжений диагоналей параллелограмма за точки A и D с общей касательной к окружностям. Найдите площадь треугольника PQC, если радиусы окружностей равны 2, а синус угла BAD равен $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$

В треугольнике ABC провели высоты AA1 и BB1. Окружность, описанная вокруг треугольника ANA1, где точка N — середина стороны AB, пересекла прямую A1B1 в точке K. а) Докажите, что прямая AK касается окружности, описанной около треугольника ABC. б) Найдите отношение площадей четырехугольника ABA1B1 и треугольника CA1B1, если ∠ABC = 45°, AB1 = BN = 1.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается основания AC в точке D и боковой стороны AB в точке E. Точка F — середина стороны AB, а точка G — точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону AB в точке H. Известно, что $FH:HE=2:3$ а) Докажите, что $\angle HGE =\angle EDG$ б) Найдите $\angle BCA$

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Через точки A и B проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой AC в точке A. Через точки В и С проведена окружность радиуса 4, касающаяся прямой AC в точке C. а) Найдите длину стороны АС. б) Найдите длину общей хорды этих окружностей.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E. а) Докажите, что вокруг четырехугольника ACED можно описать окружность б) Найдите AE, если AB = 10, AC = 16, AD = 15.

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности ω радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности ω, который параллелен гипотенузе. Угол CAB равен 75°. а) Найдите площадь треугольника ABC. б) Найдите расстояние между центрами окружности ω и окружности, вписанной в треугольник ABC.

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке К. Прямая р касается первой окружности в точке М, а второй — в точке N. а) Докажите что расстояние от точки К до прямой р равно $дробь: числитель: MK умножить на KN, знаменатель: MN конец дроби$ б) Найдите площадь треугольника MNK, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно 12 и 3.

Две окружности касаются внутренним образом в точке K. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке L. а) Докажите, что KL — биссектриса угла AKB. б) Найдите длину отрезка KL, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно 6 и 2, а угол АKB равен 90°.

Окружности с центрами в точках А, В и С и радиусами, равными а, b и с соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка К, М, Р. а) Докажите, что отношение площади треугольника КМР к площади треугольника АВС равно $дробь: числитель: 2abc, знаменатель: левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс a правая круглая скобка конец дроби$ б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника КМР, если известно, что а = 6, b = 7, с = 1.

Дана окружность. Продолжения диаметра АВ и хорды РК пересекаются под углом 30° в точке С. Известно, что СВ : АВ = 1 : 4; АК пересекает ВР в точке Т. а) Докажите, что АР : АТ = 3 : 4. б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, Р и К, если радиус окружности равен 4.

Три окружности, две из которых одинакового радиуса, попарно касаются друг друга внешним образом в точках A, B и C. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Найдите радиус круга, вписанного в четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, O, если известно, что радиусы окружностей 6; 6 и 4, а точка O — центр меньшей из них.

Точка O — середина отрезка AC. На отрезках AC и AO, как на диаметрах, построены две окружности. Хорда CK одной из них касается другой окружности в точке P. а) Докажите, что $тангенс \angle CAP= дробь: числитель: PC, знаменатель: AC конец дроби$ б) Найдите площадь треугольника AKC, если известно. что OC = 3.

Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом. A1A2 и B1B2 — их общие внешние касательные (A1 и B1 — точки касания с ω1, A2 и B2 — точки касания с ω2). а) Докажите, что расстояние между хордами A1B1 и A2B2 равно среднему гармоническому диаметров окружностей. (средним гармоническим двух положительных чисел а и b называется значение выражения $дробь: числитель: 2, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби конец дроби$ б) Найдите площадь четырехугольника A1А2B2В1, если радиусы окружностей равны соответственно 9 и 4.

Две окружности касаются внутренним образом. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке M. Найдите радиус меньшей окружности, если известно, что длины отрезков AM = 28, MB = 4, а радиус большей окружности равен 20.

На диаметре AB полукруга взята точка С и в полукруге на отрезках AC и CB как на диаметрах построены два полукруга. Из точки C восставлен препендикуляр к AB и с обеих сторон от него построены два круга, касающиеся как этого перпендикуляра, так и обоих полукругов. а) Докажите, что радиусы построенных кругов равны. б) Найдите их радиусы, если AB = 12 и AC : CD = 1 : 3.

Продолжение общей хорды AB двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке C, точка A лежит между B и C, а M и N — точки касания. а) Докажите, что отношение расстояний от точки C до прямых AM и AN равно $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, M и N.

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм. б) Найдите отношение BP : PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

Две окружности касаются внутренним образом в точке А так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке K. Прямые AB и АС вторично пересекают меньшую окружность в точках P и M соответственно. а) Докажите, что PM || BC. б) Найдите площадь треугольника ABC, если PM = 12, а радиус большей окружности равен 20.

В окружности проведены хорды АС и ВD, пересекающиеся в точке О, причем касательная к окружности, проходящая через точку С, параллельна ВD. а) Докажите, что DC2 = АС ∙ СО. б) Найдите площадь треугольника СDО, если известно, что AB : ВО = 3 : 1, а площадь треугольника АСD равна 36.

Окружность ω1 с центром O1 и окружность ω2 с центром O2 касаются внешним образом. Из точки O1 к ω2 проведена касательная O1A, а из точки O2 к ω1 проведена касательная O1B (А и В — точки касания). А) Докажите, что углы O1AB и O1O2B равны. Б) Найдите площадь четырехугольника O1O2AB, если известно, что точки касания А и В лежат по одну сторону от прямой O1O2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3.

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены диаметры АС и АD этих окружностей. а) Докажите, что точки D, В и С лежат на одной прямой. б) Найдите произведение АD ∙ АС, если известно, что АВ = 8, а диаметр окружности, описанной около треугольника АDС, равен 10.

Окружность проходит через вершину С прямоугольника ABCD, касается стороны AB, пересекает сторону CD в точке M и касается стороны AD в точке K. А) Докажите, что угол CKD равен углу KMD. Б) Найдите сторону AB, зная, что AD = 18, DM = 4.

Точка M лежит на диаметре AB окружности с центром О. С и D — точки окружности, расположенные по одну сторону от AB, причем ∠CMA = ∠DMB. а) Докажите, что ∠OCM = ∠ODM. б) Найдите площадь четырехугольника COMD, если известно, что OM = 4, BM = 2, ∠CMA = ∠DMB = 45°.

К двум окружностям с центрами O1 и O2 и радиусами 6 и 3 проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть A и B — точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними. а) Докажите, что около четырехугольника O1AO2B можно описать окружность. б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что O1O2 = 15.

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров. а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей их этих окружностей. б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

CA и СВ — касательные к окружности в точках А и В соответственно, АD — её диаметр. Прямые ВD и АС пересекаются в точке E. А) Докажите, что точка С – середина отрезка АЕ. Б) Найдите сумму радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABE, ABD и AED, если известно, что ВA = 12.