Объёмы многогранников

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC и пересекающая ребро SD в точке K. а) Докажите, что K — середина ребра SD. б) Найдите объем пирамиды SABCD, если AB = 24, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 30°.

В пирамиде SABCD основанием является прямоугольник ABCD $левая круглая скобка AB меньше AD правая круглая скобка$ а все боковые рёбра пирамиды равны. Из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD. а) Докажите, что $\angle AHC = 90 градусов$ б) Найдите объем пирамиды, если $HA = 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ $HC = корень из: начало аргумента: 82 конец аргумента$ а площадь основания пирамиды равна 48.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точки М и K — середины сторон SB и DC соответственно. Через центр основания пирамиды параллельно прямым АМ и SK проведена плоскость α. а) Докажите, что α делит ребро BC в отношении 1 : 5, считая от точки C. б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение пирамиды плоскостью α, а вершиной — точка A, если в пирамиде SABCD сторона основания равна $8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ высота равна 12,

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с его двумя гранями углы, равные α, а с третьей — угол, равный β. а) Докажите, что $синус в квадрате бета = косинус 2 альфа$ б) Найдите объем параллелепипеда, если $d = 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ $альфа = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$

На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды DABC отмечены точки M и N так, что АМ : МВ = СN : NB = 1 : 3. Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно. а) Докажите, что точки Р, Q, M и N лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM делит пирамиду.

Дана правильная призма ABCDA1B1C1D1. На ребрах CD, CC1 и A1B1 отметили точки K, L и M соответственно. Известно, что A1M = MB1, DK = 2KC, а четырёхугольник AKLM — равнобедренная трапеция. а) Докажите, что CL = 2LC1. б) Найдите объём призмы ABCDA1B1C1D1, если AA1 = 7.

В треугольной пирамиде ребра АВ, АС и AD взаимно перпендикулярны, причём АВ = АС. Точки L, F, Q и T — середины ребер BD, DC, AC и AB соответственно. Известно, что плоскости DTQ и ALF перпендикулярны. а) Докажите, что AD : AB = 1 : 2. б) Пусть S и Е — точки пересечения медиан треугольников ABD и ACD соответственно. Найдите объём многогранника TLFQES, если AD = 3.

Плоскость α, содержащая диагональ BD грани куба ABCDA1B1C1D1, пересекает ребро B1C1 и делит площадь боковой поверхности куба в отношении 2 : 1. а) Докажите, что плоскость α делит ребро B1C1 в отношении 2 : 1, считая от вершины B1. б) В каком отношении плоскость α делит объем куба?

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 на ребрах BB1 и CC1 отмечены точки M, N соответственно такие, что BM : MB1 = 2 : 5, BM : NC1 = 2 : 3. а) Докажите, что BD параллельна плоскости АМN. б) Найдите меньший из объёмов, на которые плоскость ABN делит объем призмы, если AA1 = 14, AD = 3.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD является прямоугольником со сторонами 6 и 8, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B1D, пересекает ребро BB1 в точке K. Угол между плоскостями ABC и ACK равен 45°. а) Докажите, что угол KOB меньше 45°. б) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

В правильной пирамиде SABC с вершиной S на стороне основания AC и боковом ребре SB отметили соответственно точки E и N такие, что AE : EC = SN : NB = 1 : 2. Через точки E и N параллельно прямой AB провели плоскость α. а) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция. б) Плоскость α разделила пирамиду SABC на два многогранника. Найдите объем того из них, в котором одной из вершин является точка А, если AB = 6, $AS = 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Ребро SA является высотой пирамиды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS соответственно так, что $S F: F B=A E: E C=1: 5$ Плоскость α проходит через точки E и F перпендикулярно прямой AC и пересекает рёбра AB и CS в точках H и M соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является прямоугольником. б) Найдите объём многогранника BCMEHF, если объём пирамиды SABC равен 216.

Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 4 и перпендикулярны друг другу. Плоскость α перпендикулярна ребру CD и пересекает рёбра AB и CD в точках K и M соответственно, причём $C M: M D=5: 3$ а) Докажите, что K — середина ребра AB. б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью α.

В n-угольной пирамиде SA1A2...An с вершиной S тангенс двугранного угла при каждом ребре основания равен 0,75. а) Докажите, что площадь полной поверхности пирамиды относится к площади основания как 9 : 4. б) Найдите объём пирамиды, если в основании лежит ромб, диагонали которого относятся как 2 : 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 20.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция ABCD, в которой $A B = B C = C D$ а основание AD вдвое больше основания BC. Точки P, T, M — середины ребер SB, BC, AB соответственно. Известно, что ребро SA перпендикулярно плоскости основания, SA = AB. а) Докажите, что прямые PT и CD взаимно перпендикулярны. б) Найдите объем пирамиды DMPT, если AB = 4.

В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA, SC и SD отмечены точки K, L и M соответственно так, что SK : KA = SL : LC = 2 : 1 и SM = MD. а) Докажите, что плоскость KML содержит точку B. б) Найдите объём пирамиды BAKMD, если площадь параллелограмма ABCD равна 18, а высота пирамиды SABCD равна 7.

Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN — квадрат, и AK : KC = 3 : 7. а) Докажите, что $AB : CD =3: 7$ б) Найдите объём пирамиды CKLMN, если объём тетраэдра ABCD равен 100.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно $5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ На ребре DD1 отмечена точка M так, что $DM : MD_1=2: 3$ Плоскость α параллельна прямой A1F1 и проходит через точки M и B. а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α — равнобедренная трапеция. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A1, а основанием — сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α.

Точка F — середина бокового ребра SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD, точка М лежит на стороне основания AB. Плоскость β проходит через точки F и М параллельно боковому ребру SC. а) Плоскость β пересекает ребро SD в точке К. Докажите, что $BM : MA = DK: KS$ б) Пусть $BM : MA =3: 1$ Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость β разбивает пирамиду.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно. а) Докажите, что площадь четырехугольника ВСРQ составляет $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ площади треугольника SBC. б) Найдите объем пирамиды КBCPQ.

В правильной треугольной пирамиде МАВС двугранный угол при основании paвeн $арктангенс 3$ Через точку К ребра МС и вершины А и В проходит плоскость α так, что площадь сечения пирамиды плоскостью α относится к площади основания как $3: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента$ а) Докажите, что прямая МС перпендикулярна плоскости α. б) Найдите объем пирамиды МАВК, если объем пирамиды МАВС равен $52 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4. а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды. б) Найдите объем пирамиды CDKM.

На сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB = BC = CD = DA = 4, SA = SB = SC = SD = 7. а) Докажите, что многогранник SABCD — правильная четырёхугольная пирамида. б) Найдите объём многогранника SABCD.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N так, что BN : ND1 = 1 : 2. Точка O — середина отрезка CB1. а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A. б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 и равна $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$

Точка М — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка N лежит на стороне основания ВС. Плоскость α проходит через точки М и N параллельно боковому ребру SA. а) Плоскость α пересекает ребро DS в точке L. Докажите, что $BN:NC=DL:LS$ б) Пусть $BN:NC = 1:2$ Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD образует с основанием угол 45°, сторона основания равна 4. Через среднюю линию треугольника АВD, не пересекающую BD, и середину высоты пирамиды проведена плоскость α. а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру SC. б) Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M — точки пересечения α соответственно с ребрами SB, SD и SC.

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона AB основания которой равна 32, а боковое ребро BB1 равно $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ На рёбрах AB и В1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK = 2, B1L = 28. Точка М — середина ребра A1C1. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC. а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой MB. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка M, а основанием — сечение данной призмы плоскостью γ.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD. а) Докажите, что $\angle AHC=90 градусов$ б) Найдите объём пирамиды, если $HA= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и HC = 4.

В основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит трапеция ABCD c большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K. а) Докажите, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PDC. б) Найдите объем PKBC, если AB = 3, BC = 5, CD = 4, а высота пирамиды PABCD равна 7.

Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. a) Докажите, что $косинус \angle A S C плюс косинус \angle C S B=1,5$ б) Найдите объем тетраэдра SABC, если $S C=1$ и $косинус \angle ASC= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$