Многоугольники и их свойства

В треугольнике ABC проведены BK — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Известно, что прямые BK и BE делят отрезок AD на три равные части. а) Докажите, что треугольник ABC — тупоугольный. б) Найти длину стороны AC, если AB = 4.

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC заданы соответственно точки M и N такие, что AM = MB, BN : NC = 1 : 2. Отрезки CM и AN пересекаются в точке O. а) Докажите, что расстояние от точки O до прямой AC равно $дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби BH$ где BH высота треугольника ABC. б) Найдите расстояние от точки O до прямой AC, если ∠BAC = 30°, ∠BCA = 45°, AC = 8.

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD. а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный. б) Известно, что $косинус \angle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

Биссектрисы углов С и D четырехугольника ABCD пересекаются в точке К. Диагональ BD разбивает отрезок КС в отношении 2 : 1, считая от вершины С. При этом площадь треугольника ACD в два раза больше площади треугольника AKD. а) Докажите, что угол CKD прямой. б) Найдите ВК, если ВС = 6.

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1. а) Докажите, что ABCD — параллелограмм или трапеция. б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, а AD = 3.

В трапеции ABCD с нижним основанием AD площади треугольников ABD и BDC равны соответственно 12 и 4, а точка G является серединой BD. Ниже прямой AD выбрана точка Е, АЕ = BD, а на отрезке ЕС выбрана точка F такая, что CF в 4 раза короче СЕ. а) Докажите, что угол BFG равен 90°. б) Найдите длину отрезка BD, если дополнительно известно, что $\angle CFG = 75 градусов$ а $\angle BGC = 15 градусов$

В остроугольном треугольнике АВС проведены биссектриса AD и медиана ВЕ. Точки M и N являются ортогональными проекциями на сторону АВ точек D и Е соответственно, причем $дробь: числитель: AM, знаменатель: MB конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 1 конец дроби ; дробь: числитель: AN, знаменатель: NB конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. б) Найдите отношение $дробь: числитель: AD в квадрате , знаменатель: BE в квадрате конец дроби$

Биссектриса острого угла A трапеции ABCD пересекает боковую сторону CD в точке T, а продолжение основания BC трапеции в точке K так, что ABKD — параллелограмм и TD : TC = 4 : 1. а) Докажите, что прямые AK и BD перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ее сторона AB = 8 и $\angle B = 120 градусов$

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.

Из вершин острых углов B и C треугольника ABC проведены две его высоты ― BM и CN, причем прямые BM и CN пересекаются в точке H. Найдите угол BHC, если известно, что $MN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BC$

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 6, AC = 4.

Площадь трапеции ABCD равна 810. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен $дробь: числитель: 15, знаменатель: 17 конец дроби$ Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.

[рис.] [рис.] В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и $\operatorname тангенс альфа = дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби$

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника ABE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и $\operatorname тангенс альфа = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ABP, проведённую из вершины A, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 17, AC = 10 и BC = 9. На прямой BC взята точка M, причём AM = 10. Найдите площадь треугольника AMB.

Площадь трапеции ABCD равна 60, а одно из оснований трапеции втрое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции втрое больше другого.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 34, AC = 65 и BC = 93. На стороне BC взята точка M, причём AM = 20. Найдите площадь треугольника AMB.

Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 0,5. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.

Площадь трапеции ABCD равна 560. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции в полтора раза больше другого.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF?

Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100, AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образующая с прямой AB угол α, tg α = 3. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и $синус \angle AOB = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$