Многогранники

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 6, ВС = 9. Высота пирамиды проходит через точку О пересечения диагоналей АС и BD основания и равна $дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ Точки Е и F лежат на ребрах АВ и AD соответственно, причем АЕ = 4, AF = 6. а) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е и F параллельно ребру AS. б) Найти площадь этого сечения.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точка М — середина бокового ребра SC, на ребрах AS и BS отмечены точки K и L соответственно так, что AK : KS = SL : LB = 3 : 1. Сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна $дробь: числитель: 11, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби$ а) Докажите, что угол между плоскостью АВС и плоскостью KML равен 30°. б) Найдите расстояние от точки S до плоскости KML.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S боковые ребра наклонены к основанию под углом $арктангенс корень из 8$ Точки М и K — середины ребер AS и BS соответственно. а) Докажите, что плоскости АKС и ВМС перпендикулярны. б) Найдите объем пирамиды MKPC, где Р — точка пересечения ВМ и АK, если объем пирамиды ABCS равен 12.

Дана треугольная пирамида ABCD с вершиной D. Известно, что угол DAB — прямой, ребро AD перпендикулярно медиане основания AK и AD = AK. Сечением пирамиды плоскостью, не проходящей через середины ребер AD и ВС, является равнобедренная трапеция EFGH с основаниями EF и GH, причем точка Е делит ребро BD пополам, а точка G лежит на ребре АС и AG = 3 · GC. а) Докажите, что AB = AC. б) Найдите отношение площади трапеции EFGH к площади грани BCD.

В пирамиде ABCD проведено сечение КМLN так, что точка K — лежит на ребре AD, точка М — на ребре DC, точка N — на ребре АВ, точка L — на ребре ВС, и О — точка пересечения диагоналей KL и MN четырехугольника KMLN. Известно, что Р — точка пересечения плоскости сечения и прямой АС, OL : OK = 3 : 4, ON : OM = 24 : 25, DK · NA − KA · BN = KA · NA. а) Докажите, что $дробь: числитель: PK, знаменатель: KM конец дроби умножить на дробь: числитель: LN, знаменатель: NP конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби$ б) Сечение KMLN делит пирамиду на две части. Найдите отношение объемов этих частей.

В четырехугольной пирамиде SABCD все боковые ребра равны, а высота пирамиды проходит через середину стороны BC. Через точки A, B и середину ребра SC проходит плоскость α, $BC : AB : CD = корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента : 5 : 1$ а) Докажите, что плоскость α делит ребро SD в отношении 2 : 3, считая от точки D. б) Найдите угол между плоскостями α и SCD, если высота пирамиды в четыре раза меньше, чем сторона BC.

Диагональ B1D куба ABCDA1B1C1D1 перпендикулярна плоскости α, причем B1 лежит в плоскости α. Грани куба с вершиной D продолжены до пересечения с плоскостью α, и высекают в ней треугольник MNF. а) Докажите, что пирамида DMNF правильная. б) Найдите объем пирамиды DMNF, если ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6.

В тетраэдре ABCD на ребрах AD, DC, AB и BC отмечены точки K, M, N и L соответственно. Точка О — точка пересечения диагоналей четырехугольника KMLN. Известно, что $дробь: числитель: O L, знаменатель: O K конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ $дробь: числитель: O N, знаменатель: O M конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби$ $D K умножить на N A минус K A умножить на B N = A K умножить на N A$ а) Докажите, что плоскость сечения KMLN делит площадь грани ABD в соотношении 4 : 31. б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость сечения KMLN делит тетраэдр ABCD.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит четырехугольник ABCD, в котором $A B = B C = корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ $A D = D C = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ $A C = 2$ а ребро SD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что $S A плюс S B=2 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ а) Найдите объем пирамиды. б) Найдите радиус шара, касающегося граней ABCD, SAB, SBC и ребра SD.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна $3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ а высота SO пирамиды равна 8. Через точку A параллельно BD проведена плоскость α, а через точки В и D параллельная ей плоскость β так, что сечения пирамиды этими плоскостями имеют равные площади. а) Докажите, что плоскости α и β разбивают ребро SC на три равные части. б) Найдите расстояние между плоскостями α и β.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке О. Точки M и L — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и L параллельно прямой SO. а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если AD = 6, BC = 5, SO = 5, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равна 6. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°. Через меньшую диагональ основания АС проведено сечение, которое пересекает противоположное к ней ребро пирамиды SE на расстоянии $дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби$ от вершины пирамиды S. а) Докажите, что это сечение перпендикулярно боковому ребру SE. б) Найдите площадь сечения.

На ребре CD куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка R так, что DR = 10. Ребро куба равно 30. На ребре B1C1 отмечена точка L так, что $B_1 L =15$ Плоскость ALR пересекает ребро CC1 в точке Q. а) Докажите, что $CQ : QC_1=4: 1$ б) Найдите расстояние от точки С до плоскости ALR.

В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами 8 и 10, большая диагональ которого равна $2 корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента$ Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4. а) Докажите, что две боковые грани являются прямоугольными треугольниками. б) Найдите площади двух других боковых граней.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 3 и боковое ребро равно 9. Точка M — середина ребра A1C1, точка O — точка пересечения диагоналей грани ABB1A1. а) Докажите, что точка пересечения OC1 с четырехугольником, являющимся сечением призмы плоскостью ABM, совпадает с точкой пересечения диагоналей этого четырехугольника. б) Найдите угол между OC1 и сечением призмы плоскостью ABM.

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 8. На ребрах ВС и A1D1 взяты соответственно точки К и L, а на ребре CD — точки М и N так, что $BK=D_1L=CM=DN=2$ а) Докажите, что косинус угла между прямыми KN и ML равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби$ б) Найдите расстояние между прямыми KN и ML.

В основании прямой призмы KBCDK1B1C1D1 лежит ромб KBCD со стороной, равной 4 и углом DKB, равным 60°. Точки E и F являются соответственно серединами сторон KD и KB нижнего основания призмы. Прямые B1E и D1F пересекаются в точке O так, что угол B1OD1 равен 90°. а) Докажите, что угол между плоскостями DD1F и BB1E равен 60°. б) Найдите объем пирамиды EFK1C1.

В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно 3, проведено сечение через вершину B и середины ребер A1D1 и C1D1. а) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью BCC1. б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение куба, а вершиной — точка D.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD на ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN : NC = SK : KC = 1 : 4. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC. а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA. б) Найдите, в каком отношении плоскость α делит объем пирамиды.

Основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 — правильные шестиугольники. Точки K, L и M — середины рёбер EF, CD и BB1 соответственно. а) Докажите, что плоскость KLM делит ребро FF1 в отношении 1 : 5, считая от точки F. б) Найдите расстояние от центра основания A1B1C1D1E1F1 до плоскости KLM, если призма правильная, AB = 1 и $AA_1=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

Плоскость α перпендикулярна диагонали BD1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и проходит через вершину A. При этом $тангенс \angle ADB= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ а) Докажите, что плоскость α делит отрезок DC пополам. б) Найдите угол между плоскостью α и основанием ABCD, если она проходит через вершину C1.

Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 2021. На ребрах AD и В1С1 взяты соответственно точки М и Q, а на ребре CD — точки P и N так, что $AM=C_1Q=CP=PN= дробь: числитель: 2021, знаменатель: 3 конец дроби$ а) Докажите, что тангенс угла между прямыми MP и QN равен $3 корень из 3$ б) Найдите расстояние между прямыми МР и QN.

На боковых ребрах SA и SB правильного тетраэдра SABC взяты точки E и F так, что $дробь: числитель: AE, знаменатель: ES конец дроби = дробь: числитель: BF, знаменатель: FS конец дроби =2$ а) Докажите, что косинус угла между плоскостями CEF и ABC равен $дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби$ б) Найдите площадь проекции треугольника CEF на плоскость основания АВС, если ребро тетраэдра равно 9.

Основанием пирамиды SABC является треугольник АВС, в котором АВ = 5, ВС = 12 и $\angleABC = 90 градусов$ Ребро AS перпендикулярно основанию АВС и равно $2 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента$ Точки L и M расположены на ребрах SC и SB. При этом $дробь: числитель: CL, знаменатель: SL конец дроби = дробь: числитель: SL, знаменатель: SC конец дроби$ $SM умножить на MB= дробь: числитель: SB в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби$ причем точка М расположена ближе к В, чем к S. а) Докажите, что прямая ВС перпендикулярна АМ. б) Найдите объем пирамиды АМLC.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S — вершина, BD — диагональ основания) образует угол 45° c плоскостью основания, сторона которого равна 4. Через среднюю линию треугольника ABD, не пересекающую BD и середину высоты пирамиды, проведена плоскость α. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α и докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру SC. б) Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M точки пересечения плоскости α соответственно с ребрами SB, SD и SC.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M — середина ребра СС1, на ребре BB1 отмечена точка N, такая, что BN : NB1 = 1 : 2. а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1? б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.

В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM = DN = 4 и АK = 3. а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны. б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Точка Р — середина ВС, на ребре AS отмечена точка N, причем PN перпендикулярна AS. а) Доказать, что $синус \angle ASO= дробь: числитель: NO, знаменатель: PS конец дроби$ б) Найдите расстояние от точки О до плоскости SBC, если $AB=12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ $синус \angle ASO= дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби$

Дана правильная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания АВ = 4, а боковое ребро АА1 = 9, Точка М — середина ребра АС, а на ребре АА1 взята точка Т так, что АТ = 3. а) Докажите, что плоскость ВВ1М делит отрезок С1Т пополам. б) Плоскость ВТС1 делит отрезок МВ1 на две части. Найти длину большей из них.

На боковом ребре SA правильной треугольной пирамиды SABC взята точка D, через которую проведено сечение пирамиды, пересекающее апофемы граней SAC и SAB в точках M и N. Известно, что прямые DM и DN образуют углы β с плоскостью основания пирамиды, а величины углов DMS и DNS равны α, $левая круглая скобка альфа меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ а) Докажите, что секущая плоскость параллельна ребру ВС. б) Найдите угол MDN, если $альфа = 30 градусов, бета = 45 градусов$