Комбинации фигур

Точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС, а ВН — высота этого треугольника. а) Докажите, что биссектриса угла В является также биссектрисой угла ОВН. б) Найдите площадь треугольника АВС, если $\angle B = 90 градусов$ высота $BH = дробь: числитель: 120, знаменатель: 13 конец дроби$ и биссектриса $BL = дробь: числитель: 120 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 17 конец дроби$

В остроугольном треугольнике ABC отмечены H — ортоцентр и M — середина BC. Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC равен R. а) Докажите, что $дробь: числитель: A M, знаменатель: R конец дроби меньше или равно 1 плюс косинус \angle A$ б) Пусть дополнительно известно, что $дробь: числитель: A M, знаменатель: R конец дроби = 1 плюс косинус \angle A$ и что $AH = 6$ $MH =4$ Найдите R.

В окружности с центром О построен правильный шестиугольник KOFPDL так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки B, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды AB и BC, проходящие через вершины K и F шестиугольника соответственно. а) Докажите, что $A K : K B = 3 : 7$ б) Найдите площадь треугольника ABC, если радиус окружности равен 14.

В треугольнике ABC известно, что AB = AC = 10, BC = 12. На стороне AB отметили точки M1 и M2 так, что AM1 AM2. Через точки M1 и M2 провели прямые, перпендикулярные стороне AB и отсекающие от треугольника ABC пятиугольник, в который можно вписать окружность. а) Докажите, что AM1 : BM2 = 1 : 3. б) Найдите площадь данного пятиугольника.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что $AB= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ угол $ABE= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ угол $EBD= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ $BC=CD$ а) Докажите, что центр окружности лежит на одной из диагоналей пятиугольника. б) Найдите площадь пятиугольника.

На основании АС равнобедренного треугольника АВС расположена точка D так, что AD = 2, CD = 1. Окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются прямой BD в точках M и N соответственно. а) Найдите длину отрезка MN. б) Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, не может быть более чем в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник DBC.

В треугольнике АВС сторона ВC больше стороны АC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке K. Окружность, описанная около треугольника АКL, вторично пересекает прямую АС в точке Р. а) Докажите, что отрезки ВС и РС равны. б) Найдите площадь треугольника АРК, если ВС = 6, АВ = 5, АС = 4.

Окружность радиуса $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ касается прямой a в точке А, а прямой b в точке В так, что хорда АВ стягивает дугу окружности в 60°. Прямые a и b пересекаются в точке F. Точка С расположена на луче FA, а точка D — на луче BF так, что AC = BD = 2. а) Докажите, что треугольник BAD — прямоугольный. б) Найдите длину медианы треугольника CBD, проведенную из вершины D.

Окружность с центром на диагонали АС трапеции ABCD (BC || AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е так, что $CD = 6 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента$ AE = 8. а) Найдите площадь трапеции ABCD. б) Прямые CD и ВЕ пересекаются в точке Q. Найдите BQ.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке D. а) Докажите, что треугольник ADC равнобедренный. б) Найдите радиус окружности, если CD = 4, BD = 5.

Окружности С1 и С2 касаются внешним образом в точке А. Прямая l касается окружности С1 в точке В, а окружности С2 — в точке D. Через точку А проведены две прямые: одна проходит через точку В и пересекает окружность С2 в точке F, а другая касается окружностей С1 и С2 и пересекает прямую l в точке Е, $AF=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ $BE = корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ а) Найдите радиусы окружностей С1 и С2. б) Окружность С3 касается внешним образом окружностей С1 и С2, а также отрезка BD. Найдите радиус этой окружности.

Квадраты ABCD и A1B1C1D1 (вершины названы по часовой стрелке) совпадают вершинами C и B1. Точки O и O1 — центры квадратов. а) Докажите, что прямая OO1 пересекает отрезки A1B и C1D под одинаковыми углами. б) Найдите OO1, если $A_1B плюс C_1D=12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$

Окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках A и B соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка K так, что расстояния от нее до продолжений сторон AC и BC равны 39 и 156 соответственно. а) Найдите расстояние от точки K до прямой AB. б) В каком отношении перпендикуляр, опущенный из точки K на прямую AB, делит площадь пятиугольника KFABE, где точки F и E — основания перпендикуляров, опущенных из точки K на прямые AC и BC соответственно?

Продолжение высоты BH пересекает описанную вокруг треугольника ABC окружность ω в точке D, при этом BD = BC. На луче BD за точку D отмечена точка E такая, что EA касается ω в точке A. а) Докажите, что 3∠EBC + 2∠BEA = 180°. б) Найдите AE, если дополнительно известно, что $\angle ABC=3 арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби$ а DC = 10.

Стороны треугольника ABC равны AB = 7, BC = 8, AC = 11. Вписанная окружность касается стороны AC в точке R. Вневписанная окружность касается стороны AC в точке F и продолжений сторон AB и BC. а) Докажите, что AF + AB = FC + BC. б) Найдите расстояние между точками F и R.

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке M. Окружность, описанная около треугольника CDM, пересекает отрезок AD в точке N и касается прямой BN. а) Докажите, что треугольники BNC и CDN подобны. б) Найдите AD, если $CD=24$ $\angle BCD=\angle DMA$ а радиус окружности равен 13.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB. а) Докажите, что $CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DK$ б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если $AC =6$ $BC =10$ и $\angle ACB=30 градусов$

В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и площадью, равной 2, прямые BC и AD касаются окружности диаметром $корень из 2$ в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна 1. а) Найдите величину угла MBN. б) Найдите длину основания AD.

Даны треугольник ABC и ромб BDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC, а угол при вершине E — тупой, $AE=3$ $CE=7$ а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1. а) Найдите площадь треугольника ABC. б) Найдите расстояние между центром окружности, вписанной в ромб, до центра окружности, вписанной в треугольник ABC.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К. а) Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности. б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ = АК = KD = $4 корень из 5$

В трапецию ABCD c основаниями ВС и AD вписана окружность с центром О, СН — высота трапеции, Е — точка пересечения диагоналей. а) Докажите, что $\angle OHC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle ADC$ б) Найдите площадь четырехугольника СЕОН, если известно, что $\angle BAD=90 градусов$ BC = 9, AD = 18.

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точке Н, точка О — центр описанной окружности, точка К — середина ВС. а) Докажите, что отрезок АН вдвое длиннее отрезка ОК. б) Найдите длину отрезка ОН, если известно, что АВ = 5, ВС = 6, АС = 7.

Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке Е, AD — биссектриса треугольника АВС. а) Докажите, что АЕ = ЕD. б) Известно, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ = 9, ВЕ = 4, $косинус AED= дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби$ Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность радиуса $2 корень из 5$ отсекающая от прямой ВС отрезок $4 корень из 5$ и касающаяся прямой АС в точке А. Из точки В проведен перпендикуляр к прямой ВС до пересечения с прямой АС в точке F. а) Докажите AF = BF. б) Найдите площадь треугольника АВС, если BF = 2.

Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность ω, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К. а) Докажите, что ВА — биссектриса угла КВС. б) Отрезок ВС пересекает окружность ω в точке Е. Найдите ВЕ, если АС = 12.

В треугольнике ABC на AB, как на диаметре, построена окружность ω1, а на AC, как на диаметре, построена окружность ω2. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точке М, отличной от точек А, В и С. а) Докажите, что точки М, В и С лежат на одной прямой. б) Пусть АМ = 6, а диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 10. Найдите произведение АВ∙АС.

Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС. На луче АО отмечена точка М так, что $\angle BAC плюс \angle AMC=90 градусов$ а) Докажите, что существует точка Р, одинаково удаленная от точек В, О, С, М. б) Найдите расстояние от точки Р до точки М, если известно, что $\angle BAC=15 градусов$ и ВС = 15.

В параллелограмм вписана окружность. а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб. б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P. а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны. б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q — середина дуги MB.

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся гипотенузы AB в точке M. Точка О — центр описанной около треугольника ABC окружности. Касательная к окружности ω, проведенная из точки О, пересекает сторону АС в точке P. а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна произведению длин отрезков AM и BM. б) Найдите площадь четырехугольника BCPO, если известно, что AM = 12, BM = 5.