Числовые наборы на карточках и досках

На доске написаны три различных однозначных натуральных числа. К каждому из них приписали слева одну и ту же цифру, и сумма этих чисел увеличилась в n раз. а) Может ли n быть равно 15? б) Может ли n быть равно 50? в) Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

На доске написали несколько необязательно различных трехзначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и третью цифры (например, число 123 заменили на число 321). а) Могла ли сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел. б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза меньше, чем сумма исходных чисел? в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно одного) на доске написали числа меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 5, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число. а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел увеличилось? б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 39? в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

На доске написаны 30 натуральных не обязательно различных чисел. Все они больше 16, но меньше 56, а их среднее арифметическое равно 23. Все числа заменили на в два раза меньшие и после этого стерли те, что оказались меньше 9. При этом на доске обязательно осталось хотя бы одно число. а) Может ли среднее арифметическое всех оставшихся чисел быть больше 21? б) Может ли среднее арифметическое всех чисел быть больше 20, но меньше 21? в) Какое наибольшее среднее арифметическое могло получиться у оставшихся чисел?

На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, больших 5, каждое из которых не превосходит 45. После чего все числа на доске уменьшили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 5, с доски стёрли. а) Могло ли среднее арифметическое всех оставшихся на доске чисел увеличиться? б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 32, а потом стало равно 39? в) Чему может быть равно наибольшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 32?

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел из записанных является целым числом. а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567? в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат n2. Найдите наименьшее возможное значение n.

На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23. а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20? б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20? в) Найдите наибольшее возможное значение k.

На столе лежат 140 карточек — синие и белые, на каждой карточке записано ровно одно натуральное число. Все числа на белых карточках различны, и число на любой синей карточке не меньше числа на любой белой карточке. Среднее арифметическое всех записанных чисел равно 70. Если все числа на синих карточках уменьшить на 5, а все числа на белых карточках увеличить на 2, то среднее арифметическое всех чисел станет равным 67,5 (при уменьшении некоторые числа могут не быть натуральными). а) Могут ли все числа на белых карточках быть четными? б) Может ли среднее арифметическое чисел на синих карточках равняться 70,5? в) Какое наименьшее среднее арифметическое может быть у чисел на синих карточках?

На доске написаны цифры 111111222222 (шесть 1 и шесть 2). Марина составила из этих двенадцати цифр 5 попарно различных натуральных чисел, каждое из которых не кратно 3. а) Может ли среди составленных Мариной чисел быть ровно два четырехзначных? б) Может ли быть среди составленных Мариной чисел быть хотя бы одно шестизначное? в) Пусть K — наибольшее из составленных Мариной чисел. Найдите наибольшее значение, которое может принимать K.

На доске написано число 11. Раз в минуту Петя дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-⁠то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске. Таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две — третье и т. д. а) Может ли в какой-⁠то момент на доске оказаться число 2025? б) Может ли в какой-⁠то момент сумма всех чисел равняться 121? в) Через какое наименьшее количество минут на доске может появится число 891?

Мороз Иванович написал на доске несколько (более одного) попарно различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза. а) Может ли на доске быть 6 чисел, сумма которых равна 71? 6) Может ли на доске быть 9 чисел, сумма которых равна 71? в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 7000?

Снеговик написал ряд натуральных чисел от 1 до 2025. Затем он зачеркнул каждое второе число, начиная слева, а последнее незачеркнутое число перенес в начало ряда. Затем повторил операцию: зачеркнул каждое второе число, начиная слева, а последнее незачеркнутое число перенес в начало ряда. И так далее до тех пор, пока не останется ровно два числа. а) Может ли после очередной операции остаться 253 числа? б) Может ли после очередной операции остаться 64 числа? в) Чему равна сумма последних двух незачеркнутых чисел?

На доске в первой строке написано $n больше или равно 2$ различных натуральных чисел, а во второй — по одному разу те и только те натуральные числа, которые являются наименьшим общим кратным каких‐либо двух различных чисел из первой строки. Например, если в первой строке написаны числа 1, 2, 3 и 4, то во второй строке написаны числа 2, 3, 4, 6 и 12. а) Может ли во второй строке быть написано ровно 10 чисел при $n = 5?$ б) Может ли во второй строке быть написано ровно одно число при $n больше 10?$ в) Какое наименьшее значение может принимать n, если среди чисел второй строки есть числа $2 в квадрате , 2 в кубе , \ldots, 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка$ и $3 в квадрате , 3 в кубе , \ldots, 3 в степени 8 ?$

Из набора цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру один раз. а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 15 008? б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 94 358? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

На доске написаны числа 7 и 8. За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел a и b парой 2a – 1 и a + b (например, из пары 7 и 8 за один ход можно получить либо числа 13 и 15, либо числа 15 и 15). а) Может ли случиться так, что после нескольких ходов одно из написанных на доске чисел будет равно 99? б) Может ли случиться так, что после 22 ходов одно из написанных на доске чисел будет равно 8 787 878? в) После 1001 хода на доске получили пару чисел, не равных друг другу. Какое наименьшее значение может иметь разность между большим и меньшим из этих чисел.

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1 плюс 1 плюс 111 плюс 11 плюс 11 плюс 1=136$ a) Можно ли получить сумму 122, если n = 59? б) Можно ли получить сумму 123, если n = 59? в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n = 59?

Шестизначное число, в десятичной записи которого присутствуют по одному разу цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, будем называть хорошим. а) Может ли хорошее число быть простым? б) Может ли хорошее число иметь натуральных 63 делителя? в) Может ли хорошее число делиться на 11? г) Сколько хороших чисел делится на 12?

На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня составил из написанных цифр трехзначное число А. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число С (возможно то же самое, что и Петя). а) Может ли быть верным равенство A = B + C, если A A = B + C, если числа B и C делятся на 3? в) Найдите наибольшее число A, для которого может быть верным равенство A = B + C.

На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C. а) Может ли быть верным уравнение $A = B умножить на C$ если $A больше 140$ б) Может ли быть верным уравнение $A = B умножить на C$ если $440 меньше или равно A меньше 500$ в) Найдите наибольшее число A до 900 для которого выполняется $A = B умножить на C$

На доске в первой строке написано два натуральных числа n и n + 1, а во второй строке по одному разу записаны те и только те натуральные числа, которые являются делителями одного из чисел первой строки. Например, если в первой строке написаны числа 3 и 4, то во второй строке написаны числа 1, 2, 3 и 4. а) Может ли во второй строке быть написано ровно 6 чисел? б) Может ли во второй строке быть написано ровно 4 числа, если $n больше 4?$ в) Сколько существует таких чисел $n меньше 2000$ для которых во второй строке написано чётное количество чисел?

На листочке написано более 100, но меньше 115 целых чисел. Среднее арифметическое чисел, меньших 13, равно −20, а среднее арифметическое чисел, больших 13, равно 35. Среднее арифметическое всех чисел, записанных на листочке, равно 7. а) Сколько чисел записано на листочке? б) Может ли чисел, больших 13, быть больше, чем чисел, меньших 13? в) Какое наибольшее количество чисел, которые больше 13, может быть среди этих чисел, если известно, что есть хотя бы одно число, равное 13?

На доске разрешается в одну строку так написать $n больше или равно 3$ различных натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ чтобы для любого $k=1, 2, \ldots, левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка$ число $a_k плюс 2$ равнялось либо сумме, либо разности, либо произведению, либо частному взятых в некотором порядке чисел $a_k плюс 1$ и ak. Например, этим правилам удовлетворяют 4 числа 3, 12, 4, 8, а также 5 чисел 8, 2, 4, 6, 24, написанные в указанном порядке. а) Можно ли по этим правилам так написать n = 5 чисел, чтобы среди них в некотором порядке встретились четыре числа 1, 2, 3 и 4? б) Можно ли по этим правилам так написать n = 4 нечетных числа, чтобы среди них в некотором порядке встретились три числа 3, 5 и 7? в) Какое наименьшее значение может принимать n, если на доске в некотором порядке встречаются числа 1, 2 и 8?

На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,32 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,32, то получится целое число). а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел? б) Могло ли на доске быть написано меньше 20 чисел? в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a. а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20? б) Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25? в) Найдите наибольшее значение N.

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зеленого, либо красного цвета. Каждое зеленое число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зеленые числа различны и все красные различны; какое‐⁠то зеленое может равняться какому‐⁠то красному числу. а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше $1395=3 плюс 6 плюс \ldots плюс 90$ если все числа на доске кратны 3? б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067? в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Есть желтые и белые карточки, всего — 100 штук. На каждой написано натуральное число, среднее арифметическое всех чисел равно 32. Все числа на желтых карточках разные. При этом любое число на желтой карточке больше, чем любое число на белой. Все числа на желтых карточках увеличили в 3 раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно 94,6. а) Может ли быть ровно 70 желтых карточек? б) Могут ли все числа на белых карточках быть различными? в) Какое наибольшее количество желтых карточек может быть?

В течение n дней ежедневно на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 5. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество — меньше, чем в предыдущий день. а) Может ли n быть больше 4? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 3? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел за все дни?

На доске разрешается написать n таких попарно различных натуральных чисел a1, a2, ..., an, для которых при каждом натуральном числе k = 2, ..., n − 1 выполнено равенство $a_k плюс 1= дробь: числитель: a_k плюс a_k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ а) Можно ли при n = 4 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось равенство a4 = 2021? б) Можно ли при n = 100 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось неравенство |a2 − a1| n = 10 на доске написаны такие числа. Какое наименьшее значение может принимать a10?

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое всех написанных чисел было равно 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, вдвое меньшее первоначального. Числа, оказавшиеся после этого меньше 1, с доски стёрли. а) Могло ли среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, стать больше 14? б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел стать больше 12, но меньше 13? в) Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.

По кругу записано несколько (два и более) различных натуральных чисел. Каждое число или в три раза больше соседнего слева числа, или на два меньше. а) Могут ли быть выписаны и число 5, и число 6? б) Могут ли быть выписаны ровно семь чисел? в) Какое максимальное значение может иметь наибольшее из выписанных чисел, если сумма всех выписанных чисел не превосходит 2021?