Четырехугольники и их свойства

Внутри квадрата ABCD отмечена точка О, а через нее проведены прямые, параллельные сторонам квадрата, пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA в точках X, Y, Z и T соответственно, DY — биссектриса угла XYC. а) Докажите, что площадь прямоугольника XBYO в два раза больше площади ZDTO. б) Найдите сторону квадрата, если дополнительно известно, что $тангенс \angle DYC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ а площадь наименьшего из прямоугольников, на которые квадрат делится прямыми XZ и YT равна 15.

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A на основании AD отмечена точка M, а на стороне CD точка N так, что AM = DN и $\angle BMN = \angle MND = 90 градусов$ а) Докажите, что прямые BD и CM перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь треугольника ABM равна 6, а точка N — середина CD.

В выпуклом четырехугольнике ABCD точки P и Q — середины сторон AB и CD соответственно, точки E и F — середины AC и BD соответственно. а) Докажите, что отрезок PQ делит точкой пересечения отрезок EF пополам. б) Найдите EF, если BC = 12, AD = 14, а PQ = 8.

В трапеции ABCD проведена биссектриса угла BAD, которая пересекает боковую сторону CD в точке M и делит эту сторону пополам. а) Докажите, что треугольник ABM прямоугольный. б) Найдите AM, если средняя линия трапеции равна 12,5, а $BM = 7$

В канун Нового года Дед Мороз решил проверить, не забыл ли он геометрию за годы раздачи подарков. Он нарисовал на льду озера параллелограмм ABCD и обнаружил удивительный факт: биссектриса угла BAC оказалась перпендикулярна диагонали BD — «Вот это новогоднее чудо!» — воскликнул он. Эта биссектриса пересекла сторону BC в точке L. а) Дед Мороз просит Вас помочь ему доказать, что BL : LC = 1 : 2. Подсказка от Снегурочки: «Используй свойство биссектрисы и то, что в параллелограмме диагонали делятся пополам — как мандарины на столе!» б) После доказательства Дед Мороз провел измерения и оказалось, что диагональ BD = 10, AL = 8. Найдите площадь четырехугольника DCLO, где O — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

В выпуклом четырёхугольнике KLMN диагонали KМ и LN перпендикулярны соответственно сторонам MN и KL, а длина стороны KN равна $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ На стороне KN расположена точка А так, что $\angle LAK = \angle MAN$ Известно, что $\angle MKN минус \angle KNL = 15 градусов$ $LA : AM = 1 : корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ а) Докажите, что $\angle MAL = 90 градусов$ б) Найдите площадь четырёхугольника KLMN.

В трапеции ABCD точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны, большее основание AD = 40, $AB = 8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Найдите расстояние от точки O пересечения диагоналей до точки K пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.

Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD, и пересекающую боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне. б) Найдите длину основания AD, если AO = CO, BC = 31 и данная прямая делит сторону AB в отношении AM : MB = 4 : 5.

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол BCD — тупой. Через точку B проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая прямую AD в точке E. На продолжении BE за точку E отмечена точка F такая, что DE = DF. а) Докажите, что точки A, F, С и D лежат на одной окружности. б) Найдите расстояние от точки C до прямой AF, если BD = 10 и $косинус \angle ADC = 0,6$

В трапеции с основаниями ВС = 6 и AD = 8 на диагонали АС отмечена точка О такая, что СО : ОА = 2 : 3. Прямая ВО пересекает отрезок CD точке Е. а) Докажите, что CE : DE = 6 : 1. б) Найдите отношение площади треугольника СОЕ к площади трапеции ABCD.

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N​, причём AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3. а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1 : 4. б) Найдите сторону ромба, если $MN = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента$

Дан прямоугольник ABCD. Известно, что CD = 3AD. Точка M — середина его стороны AD. На стороне CD отмечена точка N. Известно, что CN = 2ND. Точка K — середина отрезка CM. а) Докажите, что точки B, N и K лежат на одной прямой. б) Найдите KN, если известно, что $AD = 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$

Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N, так что AM = NM = NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN пересекает сторону CD в точке Q. а) Докажите, что площадь четырехугольника BPDQ равна площади треугольника ADC. б) Найдите BD, если известно, что $AC = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и около пятиугольника MNQDP можно описать окружность.

Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает его сторону AD в точке M. Диагонали AC и BD параллелограмма пересекаются в точке O. Окружность, описанная вокруг треугольника ABM, касается прямых BC и OM. а) Докажите, что $AB \perp BD$ б) Отрезки AC и BM пересекаются в точке K. Найдите площадь четырехугольника KODM, если OM = 2.

Точки K и M — середины сторон AB и BC соответственно параллелограмма ABCD. Отрезки AM и CK пересекаются в точке P. а) Докажите, что точка P принадлежит диагонали BD. б) Найдите площадь параллелограмма, если известно, что AB = 17, BP = 4 и BC = 25.

В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, F — середина ВЕ, K — середина FD, М — середина СK. а) Докажите, что точки Е, K и С лежат на одной прямой. б) Найдите площадь четырехугольника BFKM, если площадь параллелограмма ABCD равна 50.

В выпуклом четырехугольнике АВСD сторона AB = 5, $BC = CD = корень из: начало аргумента: 52 конец аргумента$ AD = 5. а) Докажите, что диагональ BD точкой пересечения диагоналей делится пополам. б) Найдите площадь АВСD, если все отрезки диагоналей, на которые их делит точка пересечения, являются целыми числами.

Вершины ромба расположены (по одной) на сторонах параллелограмма. а) Докажите, что центры ромба и параллелограмма совпадают. б) Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если известно, что стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма, а диагонали параллелограмма относятся как 2 : 3.

В выпуклом четырехугольнике ABCD точки M, N, K, P — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно и являются вершинами четырехугольника MNKP. AC и BD — диагонали четырехугольника ABCD. Точка O — точка пересечения отрезков AC и BD. а) Докажите, что четырехугольник MNKP — параллелограмм. б) Найдите диагонали MK и PN четырехугольника MNKP, если AC = 4, BD = 6, $\angle AOB = 60 градусов$

Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Биссектрисы углов LKN и LMN пересекаются в точке О. Точки А и В отмечены на боковых сторонах KL и MN соответственно. Известно, что AK = AO и BM = BO. а) Докажите, что точки A, O и B лежат на одной прямой. б) Найдите AK : AL, если известно, что KO = OM и LM : KN = 7 : 17.

В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD. а) Докажите, что $PC в квадрате = CD умножить на PK$ б) Найдите AC : AP, если AB : BC = 3 : 8.

Биссектриса AM острого угла A равнобедренной трапеции ABCD делит боковую сторону CD $левая круглая скобка M принадлежит CD правая круглая скобка$ пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит сторону AB в отношении AN : NB = 5 : 1. а) Докажите, что прямые BM и DN параллельны. б) Найдите длину отрезка MN, если площадь трапеции ABCD равна $12 корень из 2$

В трапеции ABCD известно, что $\angle ABD = \angle ACD =90 градусов$ а) Докажите, что AB = CD. б) Найдите AD, если $AB=2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента$ $BC=8$

На сторонах квадрата BC и CD отмечены точки K и E соответственно. Известно, что AK = 3, KE = 2, $AE= корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента$ а) Докажите, что $\angle BAK=\angle EKC$ б) Найдите площадь квадрата ABCD.

На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки E и K соответственно. Известно, что AE = 3, EK = 2, $AK = корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента$ а) Докажите, что $CK = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BE$ б) Найдите площадь четырехугольника ABCK.

Точка F лежит на продолжении стороны BC параллелограмма ABCD за точку C. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке E и сторону CD в точке G. Известно, что отрезок AE на 1 длиннее отрезка EG, а отрезок GF равен 3. а) Докажите, что G — середина CD. б) Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника ADE?

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Сумма площадей треугольников AOB и COD равна сумме площадей треугольников BOC и AOD, а площадь треугольника BOC вдвое больше, чем площадь треугольника АОВ. Медианы BK и BL треугольников ABD и DBC пересекают отрезок AC в точках M и N соответственно. а) Докажите, что $BO = OD$ б) Найти KL, если $NC = 4$

Точка E — середина основания AD трапеции ABCD, а точка M — середина стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке О. а) Докажите, что площади треугольника COD и четырехугольника AMOE равны. б) Найдите отношение площади четырехугольника AMOE к площади трапеции ABCD, если $B C = 2$ и $A D = 5$

Боковые стороны трапеции лежат на перпендикулярных прямых. а) Докажите, что четырехугольник с вершинами в серединах диагоналей и в серединах оснований трапеции — прямоугольник. б) Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 7, а стороны рассмотренного выше прямоугольника равны 6 и 2,5.

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P. а) Докажите, что точка P лежит на диагонали BD трапеции ABCD. б) Найдите расстояние от точки P до боковой стороны AB, если BC = 17, AD = 31.