Прямые и плоскости в пространстве

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R.$ Прямые $RM$ и $RK$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $BL=3LC.$ а) Докажите, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются. б) Найдите отношение $AN:NS.$

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $AN=3NS.$ а) Докажите, что прямые $MN,$ $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке. б) Найдите отношение $BL:LC.$

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$ , содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$ , является ромб. а) Докажите, что грань $ABCD$ $-$ квадрат. б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$ , если $AA_1=6$ , $AB=4$ .

На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$ , причём $SM:MD=2:1$ . Точки $P$ и $Q$ $-$ середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ $-$ середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно. а) Докажите, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны. б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM.$ Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha,$ если $B_1N=6.$

На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=1:2$ . Точки $P$ и $Q$ $-$ середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно. а) Докажите, что точки $P$ , $Q$ , $M$ и $N$ лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.

Основанием четырёхугольной пирамиды $PABCD$ является трапеция $ABCD$ , причём $\angle BAD+\angle ADC=90^\circ$ . Плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны плоскости основания, $K$ $-$ точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ . а) Докажите, что плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды $KBCP$ , если $AB=BC=CD=4$ , а высота пирамиды $PABCD$ равна 9.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=2\sqrt{2}$ , $AD=6$ , $AA_1=10$ . На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=3:2$ и $B_1F:FB=3:7$ . Точка $T$ $-$ середина ребра $B_1C_1$ . а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$ . б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$ .

В правильной треугольной призме [рис.] сторона [рис.] основания равна 6, а боковое ребро [рис.] равно 4. На рёбрах [рис.] и [рис.] отмечены точки [рис.] и [рис.] соответственно, причём [рис.] . а) Точки [рис.] и [рис.] — центры окружностей, описанных около треугольников [рис.] и [рис.] соответственно. Докажите, что прямая [рис.] содержит точку пересечения медиан треугольника [рис.] . б) Найдите расстояние от точки [рис.] до плоскости [рис.] .

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$ , $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB=BC=AC=5\sqrt{2}$ . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA=DN:NC=2:3$ . Найдите площадь сечения $MNB$ .

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 4, а боковое ребро $SA$ равно 7. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:3$ . Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$ . а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$ . б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC$ .

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны 4. Точка $O$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O,$ пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN:ND=1:3.$ а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $SC.$ б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC.$

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=6\sqrt{2}$ , $AD=10$ , $AA_1=16$ . На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=5:3$ и $B_1F:FB=5:11$ . Точка $T$ $-$ середина ребра $B_1C_1$ . а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$ . б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$ .

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$ , причём $AB=2\sqrt{2}$ , $BC=4$ . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$ . а) Докажите, что $P$ $-$ середина отрезка $BQ$ . б) Найдите угол между гранями $SBA$ и $SBC$ , если $SD=4$ .

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $SA$ равно 7. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:2$ . Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$ . а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$ . б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC$ .

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ $-$ середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K.$ а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD.$ б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha,$ если известно, что $BK=1{,}$ $KC=3.$

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2{,}$ а точка $K$ $-$ середина ребра $DD_1.$ а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD.$ б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90^\circ,$ $\angle ADC=60^\circ.$

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$ , $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB=BC=AC=6\sqrt{2}$ . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA=DN:NC=1:2$ . Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$ .

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $MB_1KD$ $-$ ромб. а) Докажите, что точка $M$ $-$ середина ребра $AA_1.$ б) Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ если площадь её основания $ABCD$ равна 3, а площадь ромба $MB_1KD$ равна 6.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости . б) Найдите объём пирамиды .

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 4. Точка K $-$ середина ребра $A_1B_1.$ а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $AKC.$

В правильной шестиугольной пирамиде [рис.] сторона основания [рис.] равна 2, а боковое ребро [рис.] равно 8. Точка [рис.] — середина ребра [рис.] . Плоскость [рис.] перпендикулярна плоскости [рис.] и содержит точки [рис.] и [рис.] . Прямая [рис.] пересекает плоскость [рис.] в точке [рис.] . а) Докажите, что [рис.] . б) Найдите объём пирамиды [рис.] .

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$ , содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$ , является ромб. а) Докажите, что грань $ABCD$ $-$ квадрат. б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$ , если $AA_1=10$ , $AB=12$ .

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ $-$ центр основания пирамиды, точка $M$ $-$ середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:1{,}$ а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}.$ а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA.$ б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD.$

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости . б) Найдите объём пирамиды .

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=5$ и диагональю $BD=9$ . Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$ , а на ребре $AS$ $-$ точка $F$ так, что $SF=BE=4$ . а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$ . б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$ . Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$ .

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка E так, что $A_1E:EA=1:2$ , на ребре $BB_1$ $-$ точка $F$ так, что $B_1F:FB=1:5$ , а точка Т $-$ середина ребра $B_1C_1$ . Известно, что $AB=2$ , $AD=6$ , $AA_1=6$ . а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$ . б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $AA_1B_1$ .

В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный ( $AB=BC$ ) треугольник $ABC$ . Точка $K$ $-$ середина ребра $A_1B_1$ , а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM:MC=1:3$ . а) Докажите, что $KM\perp AC$ . б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABB_1$ , если $AB=6$ , $AC=8$ и $AA_1=3$ .

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:2$ . Через точку Т параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=2:1$ . Через точку Т параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.