Фигуры на плоскости

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию [рис.] , касается её боковой стороны [рис.] в точке [рис.] . Луч [рис.] вторично пересекает окружность в точке [рис.] , а прямую [рис.] — в точке [рис.] , причём [рис.] , [рис.] . а) Докажите, что [рис.] . б) Найдите основания трапеции.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$ . Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$ , пересекаются в точке $H$ . Точка $O$ $-$ центр окружности, описанной около треугольника $ABC$ . а) Докажите, что $AH=AO$ . б) Найдите площадь треугольника $AHO$ , если $BC=3$ , $\angle ABC=15^\circ$ .

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям $BC$ и $AD.$ а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне. б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO=CO$ и данная прямая делит сторону $AB$ в отношении $AM:MB=1:2.$

На сторонах $AB$ , $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ , $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B=21:10$ , $BA_1:A_1C=2:3$ , $AB_1:B_1C=2:5$ . Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$ . а) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ $-$ параллелограмм. б) Найдите $CD$ , если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=63$ , $BC=25$ .

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3{,}$ а точка $Q$ $-$ середина ребра $A_1C_1.$ Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$ а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1C_1,$ считая от точки $A_1,$ если известно, что $AB=AA_1,$ $AB:BC=2:5.$

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$ . а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Пусть $O$ $-$ точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$ . Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$ , если $BC=16$ и $AB=10$ .

Окружность проходит через вершины $A$ , $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ , пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $M$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $N$ . а) Докажите, что $AM=AN$ . б) Найдите отношение $CD:DN$ , если $AB:BC=1:2$ , а $\cos\angle BAD=\frac{2}{3}$ .

Точка $E$ $-$ середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ . На стороне $AB$ взяли точку $K$ так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$ . а) Докажите, что $CO=KO$ . б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$ , если площадь треугольника $BCK$ составляет $\frac{9}{100}$ площади трапеции $ABCD$ .

Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ . Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$ , $CD$ и $AD$ . Известно, что $AB=10$ , $BC=9$ , $CD=30$ , $AD=39$ . а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$ . б) Найдите $O_1O_2$ .

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке [рис.] . Вершины [рис.] и [рис.] равнобедренного прямоугольного треугольника [рис.] с прямым углом [рис.] лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая [рис.] вторично пересекает бо́льшую окружность в точке [рис.] , а прямая [рис.] вторично пересекает меньшую окружность в точке [рис.] . а) Докажите, что прямые [рис.] и [рис.] параллельны. б) Найдите [рис.] , если радиусы окружностей равны [рис.] и 15.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ,$ причём точка $P$ лежит на стороне $AD,$ а точка $Q$ $-$ на стороне $CD.$ На стороне $AD$ отмечена точка $M.$ Известно, что $AM=BP,$ $AB=BQ.$ а) Докажите, что $BM=PQ.$ б) Найдите площадь треугольника $APQ,$ если $AM=BP=8{,}$ $AB=BQ=10.$

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N​,$ причём $AM:MC=1:2{,}$ $BN:ND=1:3.$ а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4.$ б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}.$

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2{,}$ а точка $K$ $-$ середина ребра $DD_1.$ а) Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90^\circ,$ $\angle ADC=60^\circ.$

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB=BD.$ Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E.$ Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK.$ а) Докажите, что $AB:BC=AE:EK.$ б) Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF,$ если $BD:DC=5:2.$

Точка $M$ $-$ середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD.$ Точка $N$ лежит на ребре $SB,$ $SN:NB=1:2.$ а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD.$ б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $CMN,$ если все рёбра пирамиды равны 6.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P.$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно. а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны. б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP.$ Найдите длину отрезка $AL,$ если радиус большей окружности равен 34, а $BC=32.$

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1,$ $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$ . Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K.$ а) Докажите, что $AB\cdot KH=BC\cdot C_1H.$ б) Найдите отношение площадей треугольников $C_1HK$ и $ABC,$ если $AB=6{,}$ $BC=4{,}$ $AC=5.$

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD.$ На рёбрах $A_1B_1,$ $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:2.$ Четырёхугольник $AMKN$ $-$ равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что точка $N$ $-$ середина ребра $BC.$ б) Найдите площадь трапеции $AMKN,$ если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно. а) Докажите, что $\angle AEM=\angle CMK​.$ б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK​,$ если $AM:MC=1:4.$

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ $-$ середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K.$ а) Докажите, что $\angle BKM=45^\circ​.$ б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK,$ если сторона $AB=2\sqrt{10}.$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности другого основания $-$ точки $B_1$ и $C_1$ , причём $BB_1$ $-$ образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой. б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ , если $AB=21$ , $BB_1=12$ , $B_1C_1=16$ .

Периметр треугольника $ABC$ равен 36. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ а) Докажите, что $AC=9.$ б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $\angle ACB=90^\circ.$

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$ , $B_1$ и $C_1$ $-$ середины сторон $BC$ , $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ $-$ высота, $\angle BAC=120^\circ$ , $\angle BCA=15^\circ$ . а) Докажите, что точки $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_1H$ , если $BC=4\sqrt{3}$ .

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности другого основания $-$ точки $B_1$ и $C_1$ , причём $BB_1$ $-$ образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой. б) Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1$ , если $AB=6$ , $BB_1=15$ , $B_1C_1=8$ .

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно, точка $K$ отмечена на катете $BC$ так, что $CK:KB=1:3.$ а) Докажите, что $AN=2KM.$ б) Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $KM$ . Найдите длину отрезка прямой $BP,$ заключённого внутри треугольника $ABC,$ если $AC=6{,}$ $BC=8.$

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N,$ причём $AM:MC=1:2{,}$ $BN:ND=1:3.$ а) Докажите, что $\cos\angle BAD=\frac{1}{5}$ . б) Найдите площадь ромба, если $MN=5.$

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности. а) Докажите, что $\angle ANB=2\angle ABC.$ б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB,$ если известно, что $AC=14$ и $AB=36.$

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3{,}$ а точка $Q$ $-$ середина ребра $A_1C_1.$ Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$ а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB.$ б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ,$ считая от точки $P,$ если известно, что $AB=AA_1,$ $AB:BC=2:5.$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ , $B$ и $C$ , а на окружности другого основания $-$ точка $C_1$ , причём $CC_1$ $-$ образующая цилиндра, а $AC$ $-$ диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ$ , $AB=1$ , $CC_1=2\sqrt{2}$ . а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$ . б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$ , $B_1$ и $C_1$ $-$ середины сторон $BC$ , $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ $-$ высота, $\angle BAC=30^\circ$ , $\angle BCA=45^\circ$ . а) Докажите, что точки $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_1H$ , если $BC=4\sqrt{3}$ .