2.1.1 Квадратные уравнения

а) Решите уравнение $левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x правая круглая скобка правая круглая скобка =0$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2,5; −1,5].

а) Решите уравнение $1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате плюс 5 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 8x в степени левая круглая скобка 4 конец аргумента плюс 14 правая круглая скобка$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 1; дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби правая квадратная скобка$

а) Решите уравнение $x в квадрате минус 12 плюс дробь: числитель: 36, знаменатель: x в квадрате конец дроби плюс 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка =0$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2,5; 2 правая квадратная скобка$

а) Решите уравнение $левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 11 правая круглая скобка =0$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−0,5; 0,5].

а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка =20$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 1;2 правая квадратная скобка$

[рис.] На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c$ где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой $h левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус 5t в квадрате плюс 18t$ где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров?

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой $m = 8$ кг и радиуса $R = 10$ см, и двух боковых с массами $M = 1$ кг и с радиусами $R плюс h$ При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в $кг умножить на см в квадрате$ даeтся формулой $I = дробь: числитель: левая круглая скобка m плюс 2M правая круглая скобка R в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс M левая круглая скобка 2Rh плюс h в квадрате правая круглая скобка$ При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 $кг умножить на см в квадрате$ ? Ответ выразите в сантиметрах.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v _0 = 20$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 5$ м/с2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v _0 t минус дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью υ0 = 57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 12 км/ч2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S = v _0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$ где t — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ дайте в минутах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t плюс дробь: числитель: бета t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$ где t — время в минутах, $\omega = 20 градусов/$ мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $бета = 4 градусов/$ мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет $1200 градусов$ Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T левая круглая скобка t правая круглая скобка = T_0 плюс bt плюс at в квадрате$ где t — время в минутах, $T_0 = 1400$ К, $a = минус 10$ К/мин $в квадрате$ $b = 200$ К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой $y = ax в квадрате плюс bx$ где $a = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби$ м $в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ $b=1$ — постоянные параметры, $x левая круглая скобка м правая круглая скобка$ — смещение камня по горизонтали, $y левая круглая скобка м правая круглая скобка$ — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = at в квадрате плюс bt плюс H_0$ где $H_0 = 4$ — начальный уровень воды, $a = дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби$ м/мин2 и $b= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби$ м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = H_0 минус корень из: начало аргумента: 2gH_0 конец аргумента kt плюс дробь: числитель: g, знаменатель: 2 конец дроби k в квадрате t в квадрате$ где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0=20$ — начальная высота столба воды, $k = дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с $в квадрате$ ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P= m левая круглая скобка дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: L конец дроби минус g правая круглая скобка$ где m — масса воды в килограммах, $v$ скорость движения ведeрка в м/⁠с, L — длина верeвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с $в квадрате$ ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/⁠с.

Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =1,6 плюс 8t минус 5t в квадрате$ где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия — монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой $q=100 минус 10p$ Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r левая круглая скобка p правая круглая скобка =q умножить на p$ Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка $r левая круглая скобка p правая круглая скобка$ составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t в квадрате$ где h — расстояние в метрах, t − время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Прямая $y= минус 4x минус 11$ является касательной к графику функции $y=x в кубе плюс 7x в квадрате плюс 7x минус 6$ Найдите абсциссу точки касания.

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе минус 3t в квадрате минус 5t плюс 3$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/⁠с?

Найдите корень уравнения $дробь: числитель: 6, знаменатель: x в квадрате минус 19 конец дроби =1$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решите уравнение $дробь: числитель: 13x, знаменатель: 2x в квадрате минус 7 конец дроби =1$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите корень уравнения $дробь: числитель: 9, знаменатель: x в квадрате минус 16 конец дроби =1$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите корень уравнения: $x в квадрате минус 17x плюс 72=0$ Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Найдите корень уравнения $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате = целая часть: 16, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.