Рациональные уравнения и неравенства

Автомобиль, масса которого равна $m = 2160$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь $S = 500$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F = дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби$ Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P = дробь: числитель: 4mg, знаменатель: Пи D в квадрате конец дроби$ где $m = 1200$ кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $g=10$ м/с $в квадрате$ а $Пи = 3$ определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400 000 Па. Ответ выразите в метрах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле $v = c дробь: числитель: f минус f_0 , знаменатель: f плюс f_0 конец дроби$ где $c=1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_0$ − частота испускаемых импульсов (в МГц), f − частота отражeнного от дна сигнала, регистрируемая приeмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 2 м/с.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 150$ Гц и определяется следующим выражением: $f =f_0 дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус v конец дроби$ (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=10$ м/с и $v =15$ м/с — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 160 Гц?

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 55$ В и внутренним сопротивлением $r = 0,5$ Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой $U = дробь: числитель: \varepsilon R, знаменатель: R плюс r конец дроби$ При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в омах.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m = 1260$ тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной $l = 18$ метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p = дробь: числитель: mg, знаменатель: 2ls конец дроби$ где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с $в квадрате$ ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой mв (в килограммах) от температуры t1 до температуры t2 (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы mдр кг. Он определяется формулой $\eta = дробь: числитель: c_в m_в левая круглая скобка t_2 минус t_1 правая круглая скобка , знаменатель: q_др m_др конец дроби умножить на 100\%$ где $c_в = 4,2 умножить на 10 в кубе Дж/ левая круглая скобка кг умножить на градусов \! \! C правая круглая скобка$ — теплоёмкость воды, $q_др = 8,3 умножить на 10 в степени 6 Дж/кг$ — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть mв = 83 кг воды от 10 °C до 100 °C, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = дробь: числитель: T_1 минус T_2 , знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100\%$ где $T_1$ — температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$ — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $15\%$ если температура холодильника $T_2 = 340$ К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1=90 Ом$ Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1 Ом$ и $R_2 Ом$ их общее сопротивление даeтся формулой $R_общ = дробь: числитель: R_1 R_2 , знаменатель: R_1 плюс R_2 конец дроби левая круглая скобка Ом правая круглая скобка$ а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A левая круглая скобка \omega правая круглая скобка = дробь: числитель: A_0 \omega _p в квадрате , знаменатель: |\omega_p в квадрате минус \omega в квадрате | конец дроби$ где $\omega$ — частота вынуждающей силы (в $c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ ), $A_0$ — постоянный параметр, $\omega_p = 360c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$ меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $12,5\%$ Ответ выразите в $c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$

Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I = дробь: числитель: U, знаменатель: R конец дроби$ где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс r конец дроби$ где $\varepsilon$ — ЭДС источника (в вольтах), $r = 1$ Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $20\%$ от силы тока короткого замыкания $I_кз = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: r конец дроби$ ? (Ответ выразите в омах.)

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 440$ Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-⁠за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f левая круглая скобка v правая круглая скобка = дробь: числитель: f_0 , знаменатель: 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: c конец дроби конец дроби$ (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 315$ м/с. Ответ выразите в м/⁠с.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.